Контактные задачи пластического течения в тонком слое: теория, краевые задачи, решения и приложения

Представлена разработанная А. А. Ильюшиным эффективная, двумерная, усредненная по толщине современная теория пластического течения в тонком слое, заключенном между двумя сближающимися поверхностями внешних тел инструмента. На основе общей модели «вязкой» жидкости в области с подвижной границей сформулирована краевая задача, описываемая нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка.
Следует отметить, что до недавнего времени все исследования в этой области проводились на основе упрощенной постановки краевой задачи в модели «идеальной» жидкости, описываемой нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка, в которых тангенциальными напряжениями пренебрегают. Позже краевая задача пластического течения в тонком слое в упрощенной постановке была развита на случай пластического течения по упруго деформируемым поверхностям (И. А. Кийко).
Исследована кинематика процесса растекания пластического слоя и выведено нелинейное эволюционное уравнение, определяющее свободную границу области течения. Приводятся другие формы представления эволюционного уравнения. Показано, что это уравнение сводится к частному случаю нелинейного уравнения теплопроводности. Выписаны новые точные частные решения эволюционного уравнения (И. А. Кийко, В. А. Кадымов), полученные с использованием методов разделения переменных и преобразований подобия.
В заключении приведены следующие практические приложения.
1. На основе упрощенной модели выписано точное решение асимметричной задачи свободного растекания пластического слоя, состоящего из двух клиньев с разными свойствами.
2. В упрощенной постановке исследуется задача пластического растяжения полосы силами, приложенными к ее «зажатым» концам. Получено условие, при котором одновременно с пластическим сжатием «зажатых» торцевых частей происходит пластическое растяжение центральной части полосы.
3. В задаче об осадке пластической полосы, занимающей область в форме прямоугольника (растекающейся в одном и неподвижной в другом направлении), получено приближенное аналитическое решение в общей модели «вязкой жидкости». Это решение подтверждается результатами проведенных экспериментов.
Заметим, что полученные закономерности не могут быть описаны с помощью упрощенной модели «идеальной жидкости».