О расширенной модели Джозефсоновского перехода, её изомонодромном расслоении и асимптотике семейств перемычек

Эффект туннелирования, предсказанный Б. Джозефсоном (Нобелевская премия 1973 г.), относится к Джозефсоновскому контакту: системе из двух сверхпроводников, разделённых достаточно узкой прослойкой из диэлектрика. Он состоит в существовании проходящего через него сверхтока, описываемого уравнениями, открытыми Джозефсоном. Сильно шунтированный Джозефсоновский контакт моделируется семейством динамических систем на двумерном торе, описываемым дифференциальным уравнением, зависящим от трёх параметров: B (абсцисса), A (ордината) и ω (частота). Мы исследуем число вращения динамической системы как функцию ρ=ρ(B,A) при фиксированной частоте ω. Зоны фазового захвата – это те её множества уровня, которые имеют непустую внутренность. Имеет место эффект квантования, открытый В.М. Бухштабером, О.В. Карповым и С.И. Тертычным, основанный на найденном ими эквивалентном описании модели семейством линейных систем дифференциальных уравнений на сфере Римана: зоны захвата существуют только для целых чисел вращения. Каждая зона – это бесконечная гирлянда из областей, уходящих "вертикально" на бесконечность, где каждые две соседние области разделены одной точкой. Те из точек раздела, которые не лежат на оси абсцисс, называются перемычками. В каждой зоне захвата все перемычки лежат на одной вертикальной прямой с абсциссей ρω, и в пространстве трёх параметров множество перемычек с данным ρ образует одномерное аналитическое подмногообразие (совместные результаты Ю.П. Бибило и докладчика). Мы опишем предельные точки подмногообразия перемычек на координатных полуосях в перенормированных параметрах (a=1/ω, s=A/ω). Мы покажем, что они лежат на оси s, и их ординаты являются нулями ρ-й функции Бесселя.
Доказательство использует 4-параметрическое расширение вышеописанной модели (интересное само по себе), где тоже есть эффект квантования числа вращения, эквивалентное описание семейством линейных уравнений, а также расслоение пространства параметров на изомонодромные семейства, задаваемое уравнением Пенлеве 3. Мы дадим обзор результатов и обсудим открытые проблемы.