Аннотация:
Доклад состоит из двух частей. Сначала рассматривается модель динамики псориаза, состоящая из трех дифференциальных уравнений. Эти уравнения описывают взаимодействие между популяциями клеток, обуславливающих возникновение, протекание и лечение этого заболевания. Эта модель затем преобразуется в три управляемые модели благодаря введению двух ограниченных управлений, отражающих дозы лекарственных препаратов. Первая и вторая модели содержат по одному управлению, третья модель имеет два управления. Для каждой такой модели ставится соответствующая задача минимизации. В первой задаче минимизации применение принципа максимума Понтрягина показывает возможный вид оптимального управления. Оно может быть как релейной функцией на всем заданном отрезке, так и, помимо релейных участков, оно может содержать особый режим второго порядка. В докладе представлены результаты исследования этого особого режима. Поскольку оптимальный протокол лечения с таким особым режимом не имеет медицинского смысла, то предлагается способ приближения оптимального управления последовательностью релейных управлений, являющихся оптимальными в некоторых возмущенных задачах минимизации. Демонстрируется, каким образом осуществляется такое возмущение и обосновывается сходимость семейства возмущенных оптимальных решений к оптимальному решению невозмущенной задачи минимизации в соответствующих метриках. Далее, показывается возможность возникновения у оптимального управления в рассматриваемой задаче минимизации особого режима третьего порядка. Для упрощения соответствующего исследования вводится специальная система дифференциальных уравнений для функции переключений и отвечающих ей вспомогательных функций, которая отвечает последовательному вычислению требуемых производных этой функции. Также изучается соединение такого особого режима с соседним релейным участком оптимального управления. Использование принципа максимума Понтрягина во второй задаче минимизации тоже показывает возможный вид оптимального управления. Оно может быть как релейной функцией на всем заданном отрезке, так и, помимо релейных участков, оно может содержать особый режим первого порядка. В докладе приводятся результаты исследования этого особого режима. В третьей задаче минимизации применение принципа максимума Понтрягина также дает возможный вид оптимальных управлений. При этом изучается возможность одновременного возникновения особых режимов у этих управлений. После того, как показывается, что такого быть не может, демонстрируются результаты исследования возможного вида каждого управления по отдельности.
Затем, в докладе рассматривается модель конкуренции Лотки-Вольтерры, состоящая из двух дифференциальных уравнений. Эти уравнения описывают взаимодействие между популяциями клеток при раковых заболеваниях крови. Эта модель далее преобразуется в управляемую модель благодаря введению ограниченного управления, отражающего дозу лекарственного препарата или интенсивность терапии. Для такой модели ставится соответствующая задача минимизации. Использование в ней принципа максимума Понтрягина показывает возможный вид оптимального управления. Оно может быть либо кусочно-постоянной функцией с не более чем одним переключением, либо релейной функцией, либо, помимо релейных участков, оно может содержать особый режим первого порядка. В докладе представлены результаты исследования этого особого режима. Также рассматривается ситуация, когда действие терапии в модели осуществляется опосредованно, с помощью так называемой функции терапии и дополнительного линейного дифференциального уравнения, содержащего ограниченное управление. Изучаются случаи монотонной и немонотонной функций терапии. Привлечение принципа максимума Понтрягина к возникающей здесь задаче минимизации тоже дает возможный вид оптимального управления. Оказывается, что в случае монотонной функции терапии упомянутый особый режим первого порядка превращается в особый режим второго порядка. В случае немонотонной функции терапии оптимальное управление может содержать одновременно особые режимы первого и второго порядков. В докладе представлены результаты исследования этих особых режимов.
Обратная связь: