Неассоциативные алгебры кубических минимальных конусов

Сянь [2] заметил, что задача описания кубических минимальных конусов по существу эквивалентна изучению однородных полиномиальных степени три решений некоторого нелинейного дифференциального уравнения, прямой подход к решению которого вызывает внушительные трудности даже в тривиальных размерностях. В той же работе, Сянь построил несколько примеров с помощью теории инвариантов и поставил проблему нахождения адекватного алгебраического подхода к классификации кубических минимальных конусов.
Доклад посвящен одному из таких возможных подходов, при котором решения некоторых нелинейных PDE, в частности уравнения Сяня, могут быть естественно интерпретированы в терминах соответствующих неассоциативных коммутативных алгебр. Так, алгебры кубических минимальных конусов удовлетворяют неассоциативному тождеству $x^2x^2+4xx^3-4\langle x,x\rangle x^2=-\frac43\lambda\langle x^2,x\rangle x$, где $\lambda\in\mathbb R$ и билинейная форма $\langle\cdot,\cdot\rangle$ удовлетворяет соотношению аналогичное ассоциативности форме Киллинга: $\langle xy,z\rangle=\langle x,yz\rangle$. Несмотря на значительный прогресс в классификации алгебр кубических минимальных конусов, полная классификация остается пока незавершенной. Я остановлюсь на недавних результатах, связывающие алгебры кубических минимальных конусов с Йордановыми алгебрами и представлениями Клиффордовых алгебрe [5,7], а также недавними их приложениями к теории осевых алгебр (axial algebras) [1,3] и неожиданном появлении данных алгебр в контексте вязких решений и теории регулярности сильно нелинейных [4,6].
1. R. L. Griess, The {M}onster and its nonassociative algebra. 1985. v. 45 of Contemp. Math., pages 121–157.
2. Hsiang, Wu-yi, Remarks on closed minimal submanifolds in the standard Riemannian $m$-sphere. J. Diff. Geom. 1(1967), 257–267.
3. S. M. S. Khasraw, J. McInroy, and S. Shpectorov. On the structure of axial algebras. Trans. Amer. Math. Soc., 373(3):2135–2156, 2020.
4. N. Nadirashvili, V.G. Tkachev, and S. Vladut. Nonlinear elliptic equations and nonassociative algebras, volume 200 of Math. Surveys and Monographs. AMS, Providence, RI, 2014.
5. V.G. Tkachev. A Jordan algebra approach to the cubic eiconal equation. J. of Algebra, 419:34–51, 2014.
6. V.G. Tkachev. Spectral properties of nonassociative algebras and breaking regularity for nonlinear elliptic type PDE's. Algebra i Analiz, 31(2):51–74, 2019.
7. V.G. Tkachev. The universality of one half in commutative nonassociative algebras with identities. J. Algebra, 569:466–510, 2021.