О геометрии образующей $8\Pi_3$

Как заметил П. М. Ахметьев (Мат. сборник, 1994, http://mi.mathnet.ru/msb930), образующая $\Pi_1\simeq\mathbb Z/2$ представляется композицией двулистного накрытия $p\colon S^1\to S^1$ и вложения $S^1\subset\mathbb R^2$, а образующая $\Pi_2\simeq\mathbb Z/2$ — композицией 4-листного накрытия $p\times p\colon S^1\times S^1\to S^1\times S^1$ и вложения $S^1\times S^1\subset\mathbb R^3$ (здесь $\Pi_n=\lim_{k\to\infty} \pi_{n+k}(S^k)$ — группа кобордизмов ориентированных погруженных многообразий коразмерности 1 в $\mathbb R^{n+1}$). Как заметил докладчик (Труды МИАН, 2005, http://mi.mathnet.ru/tm15), элемент $\Pi_3\simeq\mathbb Z/24$ с ненулевым стабильным инвариантом Хопфа представляется композицией 8-листного универсального накрытия $S^3\to Q=S^3/\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ и стандартного вложения $Q^3\to\mathbb R^4$ (на общую границу трубчатых окрестностей пары зацепленных проективных плоскостей). Однако, как недавно выяснили Т. Экхольм и М. Такасе (Bull. London Math. Soc. 43 (2011), 251–266, http://arxiv.org/abs/0903.0238), этот элемент не является образующей $\Pi_3$ (и, следовательно, является образующей $3\Pi_3$).
Представима ли образующая $\xi$ группы $8\Pi_3$ композицией накрытия и вложения? Заметим, что $\Pi_3=\Pi^0(S^3)$, где стабильные когомотопии $\Pi^n(M)=\lim_{k\to\infty}[\Sigma^k(M),S^k]$ — группа кобордизмов коориентированных погруженных многообразий коразмерности 1 в $M\times\mathbb R^1$. Цель доклада — показать с помощью несложных и по существу известных вычислений в комплексной K-теории, что образ $\xi\in\Pi^0(S^3)=\Pi^0(L_3^3,L_3^2)$ в стабильных когомотопиях $\Pi^0(L_3^3)$ линзы $L_3^3=S^3/(\mathbb Z/3)$ нетривиален и представляется композицией 6-листного накрытия $S^3\sqcup L_3^3\sqcup L_3^3\sqcup L_3^3\to L_3^3$ и вложения $L_3^3\subset L_3^3\times\mathbb R^1$.