Операторы Дирака с мероморфной функцией Вейля

Рассмотрим одномерный оператор Дирака на полуоси, $D_Q = J\frac{d}{dr} + Q$, где $J^2 = -I$, а $Q$ – симметричный матричный потенциал с нулевым следом. Можно определить соответстующие этому оператору аналитические в $\mathbb{C}_{+} =\{\Im z > 0\}$ функцию Вейля $m_Q$ и функцию Сегё $\Pi_Q$. Хорошо известно, что если потенциал $Q$ оператора имеет компактный носитель, то функции Вейля и Сегё этого оператора могут быть продолжены до мероморфных функций во всей комплексной плоскости. Если же потенциал убывает экспоненциально быстро, то есть $Q(r) = O(e^{-\delta r})$ при $r\to\infty$, то $m_Q$ и $\Pi_Q$ продолжаются до мероморфных в горизонтальной полуплоскости $\{\Im z > -\delta\}$.
В терминах энтропии оператора Дирака, введенной Р. Бессоновым и С. Денисовым, мы опишем еще более широкий класс потенциалов, для которых $m_Q$ и $\Pi_Q$ допускают мероморфное продолжение в горизонтальную полуплоскость $\Omega_{\delta} = \{\Im z > -\delta\}$ для некоторого $\delta > 0$. Для квадратично суммируемых потенциалов будут установлены двусторонние оценки на максимальное $\delta$, для которого $\Pi_Q$ аналитична в $\Omega_{\delta}$, через показатель экспоненциального убывания энтропии. Эти результаты могут быть рассмотрены, как аналог теоремы П. Невая и В. Тотика 1989 года из теории ортогональных многочленов на окружности, связывающей скорость убывания коэффициентов рекурсии и радиус аналитичности функции Сегё.
В случае, когда функция Вейля мероморфна во всей комплексной плоскости, можно рассмотреть множество ее полюсов, называющееся множеством резонансов оператора Дирака. Наши результаты позволяют расширить это классическое определение на класс всех операторов с сверхэкспоненциально быстро убывающей энтропией. В докладе мы докажем, что множество резонансов не определяет потенциал единственным образом во всем классе, но определяет при некоторых еще более сильных ограничениях на энтропию.