Фаддеевские собственные функции двумерного точечного потенциала I

В докладе будут изложены результаты, полученные совместно с Р. Г. Новиковым.
Развитая к настоящему времени техника решения обратных задач рассеяния для двумерной квантовой или акустической задачи при одной энергии хорошо работает в предположении, что у собственных функций фаддеевского типа нет особенностей по спектральному параметру на многообразии данной энергии. Если потенциал достаточно велик, возникновение таких особенностей неизбежно (например, если мы работаем при отрицательной энергии выше основного состояния, особенности всегда есть — Гриневич, С. П. Новиков). При этом в типичной ситуации возникают обобщенно-аналитические функции с особенностями на линиях, теория которых к настоящему времени совершенно не развита. Одна из проблем — отсутствие точно решаемых примеров.
Мы показывем, что для двумерных точечных потенциалов (аналогичные потенциалы в трехмерии изучались Зельдовичем и Березиным–Фаддеевым) все волновые функции явно вычисляются, как и многообразие особенностей, а также обобщенные данные рассеяния. Мы расчитываем, что данный точно решаемый пример поможет найти правильную постановку обратной задачи рассеяния в присутсвии сингулярных контуров.