Потенциальная функция Конвея и проблема Ролфсена. I

См. разметку видео на логические части

В этой серии лекций, доступной для младшекурсников, будет дано элементарное введение в потенциальную функцию Конвея. Это классический инвариант гладких узлов и зацеплений, один из сильнейших среди инвариантов, имеющих описание в терминах алгебраической топологии. Впрочем, вполне удовлетворительны известные описания потенциальной функции с точностью до знака (это по сути то же самое, что полином Александера от $n$ переменных), а вопрос об инвариантном и в то же время достаточно простом описании её знака остаётся не вполне решённым; эта загадка (я расскажу о ней подробнее) определённо стоит и на пути к пониманию более сложных ("категорифицированных" / "квантовых") инвариантов. Далее я планирую рассказать доказательство новой факторизационной теоремы (она выражает потенциальную функцию двухкомпонентного гладкого зацепления с коэффициентом зацепления 1 в виде произведения полиномов Конвея компонент и некоторого геометрически определённого ряда), а также о применениях обеих (потенциальной функции и факторизационной теоремы) к проблеме Ролфсена.

Проблема Ролфсена, которой скоро исполнится 50 лет, звучит так: "Существует ли узел, неизотопный тривиальному? В частности, изотопен ли тривиальному узлу так называемый слинг Бинга?" Под изотопией здесь понимается гомотопия в классе вложений (т.е. инъективных непрерывных отображений). Несложно видеть, что всякий гладкий (или кусочно-линейный) узел изотопен тривиальному. Поэтому проблема Ролфсена равносильна вопросу о том, всякий ли узел изотопен гладкому. Недавно было построено зацепление, неизотопное гладкому [arXiv, видео], но для узлов вопрос остаётся открытым. В этой серии лекций мы применим потенциальную функцию для доказательства следующего результата.

Теорема 1. Слинг Бинга не изотопен никакому гладкому узлу такой изотопией, которая продолжается до изотопии двухкомпонентного зацепления с коэффициентом зацепления 1.

А всякая ли изотопия узла продолжается до изотопии двухкомпонентного зацепления с коэффициентом зацепления 1? Этот вопрос я задавал ещё в 2005 году. Недавно (2022) Андреас Застров решил его отрицательно. Я планирую разобрать его пример и показать, что а) ответ положителен "по модулю второго коммутанта" (то есть ко всякой изотопии узла можно приладить вторую компоненту, если её разрешается время от времени подправлять на петлю из второго коммутанта фундаментальной группы дополнения к первой компоненте); б) в то же время теорема 1 остается верной "по модулю второго с половиной коммутанта плюс эпсилон" (таким образом, если бы не этот зазор в "половину плюс эпсилон", то проблема Ролфсена была бы уже решена). Доказательство этого усиления теоремы 1 основано на факторизационной теореме.