Кольцо Гротендика квазипроективных пространств и степенные структуры

Комплексные квазипроективное множество — это разность двух проективных множеств (т.е. множеств, задаваемых алгебраическими уравнениями в проективном пространстве). Среди инвариантов квазипроективных множеств выделяются те, которые являются аддитивными и мультипликативными. Простейшим примером такого инварианта является эйлерова характеристика. Более тонким инвариантом является многочлен Ходжа-Делиня. Универсальным ивариантом такого типа является класс квазипроективного множества в соответствующем кольце Гротендика. (Кольцо Гротендика $K_0({\rm{Var}_{\mathbb{C}}})$ квазипроективных множеств — абелева группа, порожденная классами изоморфизма $[X]$ квазипроективных множеств, по модулю следующего соотношения: если $[Y]$ — замкнутое по Зарискому подмножество в $[X]$, то $[X]=[Y]+[X\setminus Y]$. Умножение задаётся декартовым произведением.) Оказывается, ряд вычислений и доказательств об аддитивных инвариантах квазипроективных множеств (например, о многочлене Ходжа-Делиня) существенно удобнее проводить в кольце Гротендика $K_0({\rm{Var}_{\mathbb{C}}})$ с последующей редукцией в кольцо значений инварианта. Ярким примером является доказательство независимости многочлена Ходжа-Делиня крепантного разрешения от самого разрешения, основанное на принадлежащей Канцевичу идее мотивного интегрирования.
Также оказалось, что ряд утверждений удобно записывать и доказывать в терминах, так называемой, степенной структуры над кольцом Гротендика $K_0({\rm{Var}_{\mathbb{C}}})$. Степенная структура над кольцом $K_0({\rm{Var}_{\mathbb{C}}})$ — это метод придать смысл выражению
$$ (1+[A_1]\cdot t+[A_2]\cdot t^2+\ldots)^{[M]}, $$
где $[A_i]$ и $[M]$ — классы квазипроетивных множеств, как ряда из $1+t\cdot K_0({\rm{Var}_{\mathbb{C}}})[[t]]$. Понятие степенной структуры над кольцом тесно связано с понятием (пре)-$\lambda$-структуры на нём. Будет рассказано о выдленной (геометрической) степенной структуре над $K_0({\rm{Var}_{\mathbb{C}}})$ и примерах её использования.