Преобразования Меллина в теории фейнмановских интегралов

В квантовой теории поля фейнмановский интеграл строится по графу с определённой информацией: внешним и внутренним рёбрам приписываются переменные импульсы $q_j$ и $p_i$, в терминах которых формируется интеграл с параметрами, как правило, расходящийся. Сходимость интеграла достигается посредством регуляризации (возмущения), и важно знать, к какому классу аналитических функций принадлежит полученный интеграл с параметрами. В последенее десятиление возник особый интерес к исследованию фейнмановских интегралов в контексте теории $A$–гипергеометрических функций (см., например, [2]). В этой технике фейнмановский интеграл выражается преобразованием Меллина функций вида $1/f^t$, где $f^t$ есть произведение полиномов в комплексных степенях [3,1]. Интегралы такого вида тесно связаны с $A$–гипергеометрическими интегралами Эйлера, поэтому их назывют интегралами Эйлера–Меллина. Они детально исследованы в работе [1] в случае, когда $f$ — квазиэллиптические полиномы, изученные ранее в [4]. Интегралы Эйлера–Меллина определяют функции $M_{f}(z, t)$ аналитические в трубчатых областях, основания которых описываются в терминах многогранников Ньютона полиномов $f$.
Согласно результату [1] функции $M_{f}(z, t)$ допускают мероморфное продолжение. В докладе речь пойдет о детализации указанного мероморфного продолжения и об альтернативных представлениях для функций $M_{f}(z, t)$. Полученный результат указывает на существование процедуры восстановления интеграла (графа) по $A$–гипергеометрической функции.
Результат, представленный в докладе, получен совместно с А. К. Цихом.

Список литературы

1. C. Berkesch, J. Forsgård, M. Passare, “Euler–Mellin Integrals and A-Hypergeometric Functions”, Michigan Mathematical Journal, 63 (2014), 101–123
2. L. de la Cruz, “Feynman integrals as A-hypergeometric functions”, Journal of High Energy Physics, 2019, 123 (2019)
3. И. А. Антипова, “Обращения многомерных преобразований Меллина и решения алгебраических уравнений”, Матем. сб., 198:4 (2007), 3–20          ; I. A. Antipova, “Inversion of many-dimensional Mellin transforms and solutions of algebraic equations”, Sb. Math., 198:4 (2007), 447–463        
4. Т. О. Ермолаева, А. К. Цих, “Интегрирование рациональных функций по $\mathbb R^n$ с помощью торических компактификаций и многомерных вычетов”, Матем. сб., 187:9 (1996), 45–64        ; T. O. Ermolaeva, A. K. Tsikh, “Integration of rational functions over $\mathbb R^n$ by means of toric compactifications and multidimensional residues”, Sb. Math., 187:9 (1996), 1301–1318