Вложения Харди и теория потенциала на графах

Пусть $\Gamma$ – конечный граф, мы отождествляем его с множеством его вершин. Для функции $K:\Gamma\times\Gamma\rightarrow\mathbb{R}_+$ и меры $\mu:\Gamma\rightarrow\mathbb{R}_+$ мы определяем $K$-потенциал $\mu$ следующим образом
$$ \mathbf{V}_{K}^{\mu}(\alpha) = \sum_{\beta\in\Gamma}K(\alpha,\beta)\mu(\beta). $$
В частности, весовой потенциал Харди на ориентированном ациклическом графе определяется как
\begin{equation}\notag K_{w}(\alpha,\beta) = \sum_{\gamma\geq\alpha,\beta}w(\gamma), \end{equation}
где $w:\Gamma\rightarrow\mathbb{R}_+$ есть некоторый конечный положительный вес, заданный на вершинах.
Мы обсудим несколько примеров потенциалов на графах, порожденных 'непрерывными' задачами. Мы обсудим свойства таких потенциалов, в том числе принципы максимума/подчинения, оценки убывания энергии, неравенства емкостного типа, а также описания мер вложения (карлесоновых мер) для весовых потенциалов Харди на произведении деревьев.