Теоремы типа Пейли-Винера-Шварца для пространств функций на выпуклых множествах ${\mathbb R}^n$. Применения

Будут рассматриваться пространства бесконечно дифференцируемых функций с граничной гладкостью на неограниченном замкнутом выпуклом подмножестве ${\mathbb R}^n$ с непустой внутренностью. Для каждого из них будет дано описание сопряжённого в терминах преобразования Фурье-Лапласа функционалов. Все рассматриваемые функции заданы на множестве $U(b, C)$, которое определяется так: пусть $C$ – открытый выпуклый острый конус в ${\mathbb R}^n$ с вершиной в начале, $b$ – выпуклая непрерывная позитивно однородная степени 1 функция на ${\overline C}$ – замыкании $C$, тогда
$$ U(b, C) = \{\xi \in {\mathbb R}^n: \ -\langle \xi, y \rangle \ \le b(y), \, \forall y \in C \}. $$
$U(b, C)$ – замкнутое выпуклое неограниченное множество, не содержащее прямую, и его внутренность непуста.
В определении всех функциональных пространств участвует семейство ${\mathcal H} = \{h_m\}_{m=1}^{\infty}$ выпуклых функций $h_m: {\mathbb R}^n \to {\mathbb R}$ с $h_m(0) = 0$ таких, что для любого $m \in {\mathbb N}$:
$i_1)$. $h_m(x) = h_m(\vert x_1 \vert, \ldots , \vert x_n \vert), \ x = (x_1, \ldots , x_n)\in {\mathbb R}^n$;
$i_2)$. $\exists \, a_m > 0$: $ h_m(x) \ge \Vert x \Vert \ln (1 + \Vert x \Vert) - a_m \Vert x \Vert - a_m, \ x \in {\mathbb R}^n; $
$i_3)$. $\lim \limits_{x \to \infty} (h_m(x) - h_{m+1}(x)) = + \infty$;
$i_4)$. $\sup \limits_{\alpha \in {\mathbb Z}_+^n} (h_{m+1} (\alpha + \beta) - h_m(\alpha)) < \infty$ $\forall \, \beta \in {\mathbb Z}_+^n$ с $\vert \beta \vert = 1$;
$i_5)$. $\forall k \in {\mathbb N}$ $\exists l = l(m, k) \in {\mathbb N}$: $ \sum \limits_{\alpha \in {\mathbb Z}_+^n} e^{h_{m+l} (\alpha + k \gamma) - h_m(\alpha)} < \infty, $ $\gamma = (1, \ldots , 1)$.
В частности, одно из рассматриваемых пространств, а именно, пространство $G_{{\mathcal H}}(U(b, C))$, есть проективный предел пространств
$$ G(K_m) = \{f \in C^{\infty} (K_m): p_m(f) = \sup_{x \in K_m, \alpha \in {\mathbb Z_+^n}} \frac {\vert (D^{\alpha}f)(x)\vert}{e^{h_m (\alpha)}} < \infty \}, \, m \in {\mathbb N}. $$
Здесь $K_m = U(b, C) \cap \{x \in {\mathbb C}^n: \Vert x \Vert \le R_m\}$, $(R_m)_{m =1} ^{\infty}$ – неограниченная возрастающая последовательность чисел $R_m > 0$ такая, что $int \, K_1 \ne \varnothing$.