Гомотопии и симметрии

В современной математике обьекты часто изучаются «с точностью до изоморфизма», причём следить за изоморфизмами важно – например, в теории Галуа именно группа автоморфизмов алгебраического расширения нашего поля содержит самую важную информацию. Топологический аналог теории Галуа – теория накрытий, где роль группы Галуа играет группа гомотопических классов петель, т.е. фундаментальная группа. Однако хорошо известно, что, как правило, топология пространства не определяется только лишь фундаментальной группой – бывают и нетривиальные высшие группы гомотопий. При попытке формализовать явление алгебраически, первое, что хочется сделать – это рассматривать не гомотопические классы петель, а сами петли; конечно, группу они уже не образуют, посколько не обратимы буквально, а только «с точностью до высших гомотопий», но есть надежда, что, если навести соответствующий формализм, то все эти «высшие гомотопии» можно также явно алгебраически описать, и проблема рассосется сама собой.
К сожалению, надежда пока что тщетна. Во всех имеющихся в литературе построениях такой «гомотопической алгебры», от модельных категорий Квиллена до популярных в последнее время «бесконечность-категорий», никакого настоящего решения проблемы не предлагается – по сути, она просто заметается под ковер. Из-за этого формализм становится страшно громоздким, и любое его честное использование требует ссылок на основополагающие труды длиной в тысячи страниц. Я опишу альтернативный подход к гомотопической алгебре, основанный на введенном Гротендиком понятии «дериватора»; этот подход ничем не уступает по силе существующим, но при этом прост, интуитивно понятен, и очень близок к исходному формализму накрытий и фундаментальных групп.
Доклад рассчитан на общематематическую аудиторию. В частности, вообще никакого знакомства с гомотопической алгеброй не предполагается, а все необходимые понятия из теории категорий я обьясню по ходу дела.