Формальные дифференциальные операторы, символ Конту-Каррера и теорема Римана-Роха

В конце 80-х годов прошлого века П. Делинь построил изоморфизм Римана-Роха (называемый теперь изоморфизмом Делиня-Римана-Роха), который который уточняет относительную теорему Римана-Роха, или, более правильно, теорему Гротендика-Римана-Роха.
А именно, рассматривается семейство гладких проективных кривых над какой-то базой и линейное расслоение на этом семействе. Тогда, с одной стороны, по этим данным на базе строится линейное расслоение, которое есть детерминант когомологий прямого образа расслоения на семействе, а с другой стороны на базе возникают канонические расслоения, так называемые “скобки Делиня”, зависящие от пар линейных расслоений на семействе кривых. В качестве этих пар линейных расслоений берутся (в разных комбинациях) исходное линейное расслоение на семействе и линейное расслоение относительных дифференциальных форм семейства кривых. Теорема Делиня устанавливает канонический изоморфизм линейных расслоений на базе: а именно, между детерминантом когомологий в двенадцатой степени и произведением скобок Делиня в некоторых явных степенях.
Я расскажу про локальный аналог теоремы (или изоморфизма) Делиня, полученный мной недавно. Этот аналог состоит в изоморфизме двух центральных расширений групп. Аналогом расслоения – детерминанта когомологий является детерминатное центральное расширение группы, которая есть полупрямое произведение группы обратимых элементов кольца рядов Лорана $A((t))$ над произвольным коммутативным кольцом $A$ и группы непрерывных автоморфизмов $A$-алгебры $A((t))$. Здесь кольцо $A$ — это кольцо регулярных функций на базе семейства кривых, рассмотренных выше. Центральное расширение здесь при помощи группы обратимых элементов кольца $A$. Аналогом скобок Делиня являются центральные расширения, групповые $2$-коциклы которых получаются из $\cup$-произведений $1$-коциклов и применения символа Конту-Каррера.
В локальном аналоге теоремы Делиня, который есть изоморфизм центральных расширений, возникают те же самые коэффициенты, что и в исходной теореме Делиня для линейных расслоений. Доказательство локального аналога использует, в том числе, переход к соответствующей алгебре Ли дифференциальных операторов порядка $\le 1$ на формальном проколотом диске, и вычисления соответствующих $2$-коциклов на этой алгебре Ли. При этом $2$-коциклы, соответствующие скобкам Делиня, задаются вычетами от некоторых дифференциальных форм в рядах Лорана.