Арифметические свойства «обобщённых дробей Фарея»

Классический ряд Фарея порядка $Q>=1$ — это множество упорядоченных по возрастанию дробей $a/b$ c условиями $0\leq a \leq b \leq Q$. Геометрическая интерпретация этого ряда получится, если рассмотреть на координатной плоскости $(x,y)$ половинку квадрата вида $0\leq y \leq x \leq Q$. Беря в нем примитивные точки (т.е. точки с целочисленными взаимно простыми координатами) и проводя к ним отрезки из точки $(0,0)$, убеждаемся, что угловые коэффициенты полученных отрезков и есть ряд Фарея порядка $Q$. Вместо половинки квадрата можно рассмотреть достаточно произвольную область $\omega$, лежащую в секторе $0\leq y\leq x$, (не обязательно выпуклую) и раздувать её с коэффициентом $Q$, $Q\to +\infty$. В ней также можно рассмотреть примитивные точки, провести к ним отрезки, и упорядочить тангенсы углов наклона по возрастанию. То, что получится, и есть обобщённый ряд Фарея, отвечающий области $\omega$. Если область достаточно «хорошая», полученный таким образом ряд Фарея будет обладать, в частности, «модулярным свойством», присущим классическому ряду Фарея: если $c/d < a/b$ — соседние дроби, то непременно $ab-cd = 1$. В докладе же предполагается рассказать о некоторых других свойствах, присущих как классическому, так и обобщённому рядам Фарея.