Как стареет динамическая система?

Старость — отсутствие нового. Наступает момент, когда всё начинает повторяться. Мы назовем этот момент точкой старения. Данное понятие касается не только человека, но и различных процессов, происходящих в реальном мире: эволюции биологических видов, течения химических реакций, и т.д.

Старение — не всегда плохо. Оно означает стабильность и предсказуемость: если система прошла точку старения, мы можем быть уверены, что никакой катастрофы с ней уже не произойдет. Главная проблема — определить, когда наступает этот момент. Мы рассмотрим простейшую модель, которая описывается системой линейных дифференциальных уравнений $\dot x = Ax$ с постоянной $d\times d$ матрицей $A$. Старение начнется когда траектория системы $x(t)$ зайдет внутрь своей симметризованной выпуклой оболочки и больше из нее не выберется.

Найти эту точку — сложная геометрическая задача. Уже в частном случае, когда собственные значения матрицы $А$ — целые числа, функция $x(t)$ будет так называемой «кривой моментов», известной в теории вероятностей и теории чисел. Выпуклая оболочка кривой моментов имеет невероятные геометрические свойства, часто противоречащие интуиции. Поэтому, вряд ли получится решить общую задачу, опираясь только на геометрию. Мы проделаем долгий путь. Сначала сформулируем теорему Хелли о пересечении выпуклых множеств, выведем из нее «теорему об очистке» — классический результат выпуклого анализа. Далее будет в два слова следовать теорема Чебышева о наилучшем приближении полиномами. Но полиномы в этот раз понадобятся не обычные, а экспоненциальные. Оказывается, что, построив такой полином, мы вычислим точку старения!

Автор желает слушателям никогда не стареть.