Аннотация:
Я расскажу о задачах, связанной с наивной моделью велосипеда, представленного как ориентированный отрезок фиксированной длины, способный перемещаться так, что скорость заднего конца всегда сонаправлена с самим отрезком. Удивительным образом, эта простая модель оказалась весьма глубокой и связанной с разными разделами математики, включая теорию вполне интегрируемых систем. Вот несколько задач, о которых я собираюсь рассказать:
1) Траектория переднего колеса и начальное положение велосипеда однозначно определяют его движение и конечное положение. Таким образом, определено отображение монодромии. Это отображение оказывается преобразованием Мебиуса (т.е., дробно-линейным преобразованием), и этот замечательный факт имеет разнообразные геометрические и динамические следствия.
2) Траектория заднего колеса и выбор направления движения однозначно определяют траекторию переднего колеса. Изменение направления на противоположное дает другую переднюю траекторию. Эти две кривые связаны «велосипедным преобразованием» (преобразованием Бэклунда, преобразованием Дарбу), которое определяет дискретную динамическую систему на пространстве кривых. Эта система вполне интегрируемая и она тесно связана с другим хорошо изученным вполне интегрируемым уравнением в частных производных, описывающем движение колец дыма и вихревых колец в жидкости.
3) Допустим мы знаем следы переднего и заднего колес: можем ли мы определить направление движения велосипеда? Обычно можем, но иногда не можем. Описание таких пар кривых тесно связано с задачей Улама из теории плавающих тел (в размерности два): является ли круг единственным однородным телом, которое плавает в равновесии в любой ориентации? Эта задача также связана с движением заряженной частицы в магнитном поле специального вида. В общем виде эта задача не решена, но все известные решения являются солитонами выше упомянутого уравнения в частных производных, а также решениями одной вариационной задачи теории упругости.
4) «Велосипедные геодезические» — это перемещения отрезка, которые локально минимизируют длину траектории его переднего конца (переднего колеса). Оказывается что в размерности два эти траектории — эластики Эйлера, а в размерности три — стержни Кирхгофа, кривые, являющиеся решениями вариационных задач теории упругости, никак не связанных с нашей моделью велосипеда.
Обратная связь: