Фрейм-множество сдвинутой sinc-функции

Одной из главных тем частотно-временного анализа является поиск представления произвольной функции $f\in L^2(\mathbb{R})$ как суммы хорошо локализованных функций в частотно-временной плоскости. В частности на этот вопрос пытается ответить теория систем Габора. Для $g\in L^2(\mathbb{R})$ рассмотрим набор
$$\mathcal{G}(g;\alpha,\beta)=\{\pi_{\alpha n, \beta m} g\}_{m,n\in\mathbb{Z}},$$
где $\pi_{x,w}g(t)=e^{2\pi i \omega t}g(t-x)$ и $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2_+$. Такой набор называется системой Габора функции $g(t)$. Если вдобавок выполнено
\begin{equation*} A\|f\|^2_2\leq \sum_{m,n}|(f, \pi_{\alpha n, \beta m}g)|^2\leq B\|f\|^2_2, \quad f\in L^2(\mathbb{R}), \label{frameineq} \end{equation*}
то набор $\mathcal{G}(g;\alpha,\beta)$ называется фреймом Габора, а множество
$$\mathcal{F}_g =\{(\alpha,\beta): \mathcal{G}(g;\alpha,\beta) \text{ система Габора}\}$$
называется фрейм-множеством функции $g(t)$. Полное описание фрейм-множеств $\mathcal{F}_g$ известно только для некоторых функций: гауссиана $e^{-x^2}$ (см. [6,7,8]), односторонней экспоненты $\chi_{x>0}e^{-x}$, симметричной экспоненты $e^{-|x|}$ (см. [5,4]) и гиперболического секанса $\frac{1}{e^x+e^{-x}}$ (см. [3]). Недавно Ю. С. Белов с соавторами описали фрейм-множество для рациональных функций герглотцевского типа (см. [1]). Несмотря на многочисленные попытки, крайне малое количество результатов известно на данный момент.
Мы доказали, что для мнимого сдвига sinc-функции
$$g(t)=\frac{\sin\pi b(t-iw)}{t-iw}, \quad b,w\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$$
её фрейм-множество описывается формулой $\mathcal{F}_g=\{(\alpha,\beta): \alpha\beta\leq 1, \beta\leq|b|\}.$
Также мы показали, что $\mathcal{F}_g=\{(\alpha,\beta): \alpha\beta\leq 1 \}$ для функций $g(t) = \frac{1}{t-iw}(1-\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_ke^{2\pi i b_k t})$, где $\sum_{k\geq 1}|a_k|e^{2\pi|w|b_k}<1$, $wb_k<0$.
Доклад построен на кратком изложении результатов работы «Frame set for shifted sinc-function» (см. [2]). Работа поддержана грантом 075-15-2022-287 министерства образования РФ. Также докладчик является победителем премии «Молодая математика России» и благодарен её жюри и спонсорам.

Список литературы

1. Y. Belov, A. Kulikov, and Y. Lyubarskii, “Gabor frames for rational functions”, Inventiones mathematicae, 231:2 (2023), 431–466
2. Yu. Belov, A. V. Semenov, Frame set for shifted sinc-function
3. A. Janssen, T. Strohmer, “Hyperbolic secants yield Gabor frames”, Applied and Computational Harmonic Analysis, 12:2 (2002), 259–267
4. A. J. E. M. Janssen, “On generating tight Gabor frames at critical density”, Journal of Fourier Analysis and Applications, 9:2 (2003), 175–214
5. A. J. E. M. Janssen, “Some Weyl-Heisenberg frame bound calculations”, Indagationes Mathematicae, 7:2 (1996), 165–182
6. Yu. Lyubarskii, “Frames in the Bargmann space of entire functions”, Entire and Subharmonic Functions, Adv. Soviet Math., 11, no. 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992, 167–180
7. K. Seip, “Density theorems for sampling and interpolation in the Bargmann–Fock space. I”, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1992, no. 429, 91–106
8. K. Seip, R. Wallstén, “Density theorems for sampling and interpolation in the Bargmann–Fock space. II”, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1992, no. 429, 107–113