Голоморфное продолжение в сферических многообразиях

Один из первых результатов теории аналитического продолжения в размерности больше 1 пренадлежит Ф. Гартогсу — теорема об устранении компактных особенностей голоморфных функций в областях $\mathbb{C}^{n}$ [2].
Возникает ествественный вопрос о переносе результатов Гартогса на произвольные комплексные аналитические пространства. Данный вопрос изучался для следующих многообразий: многообразия Штейна, когомологически полные многообразия, векторные расслоения над комплексными торами, торические многообразия.
Ж.-П. Серр в 1953 году открыл достаточное условие при котором неособое комплексное многообразие допускает феномен Гартогса — обращение в нуль группы когомологий $H^{1}_{c}(X,\mathcal{O}_{X})$ для структурного пучка $\mathcal{O}_{X}$ [3]. Накладывая некоторые дополнительные условия на (не обязательно неособое) комплексное многообразие, удается доказать необходимость условия Серра [4].
Для некоторого класса комплексных многообразий группа $H^{1}_{c}(X,\mathcal{O}_{X})$ допускает описание в терминах голоморфных функций, определенных в окрестностях границы многообразия $X$. В данный класс попадают сферические (в частности, торические) многообразия, имеющие единственный топологический конец.
Сферические $G$-многообразия с фиксированной открытой $G$-орбитой классифицируются цветными веерами [1]. Для сферических многообразий, имеющих единственный топологический конец, условие тривиальности группы когомологий $H^{1}_{c}(X,\mathcal{O}_{X})$ удается переформулировать в терминах цветного веера многообразия $X$ и красок открытой $G$-орбиты [4].
Работа поддержана Красноярским математическим центром, финансируемым Минобрнауки РФ (Соглашение 075-02-2023-936).

Список литературы

1. J. Gandini, “Embeddings of Spherical Homogeneous Spaces”, Acta Mathematica Sinica, 24:3 (2018), 299–340
2. F. Hartogs, “Einige Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel bei Funktionen mehrerer Veränderlichen”, Sitzungsber. Köngl. Bayer. Akad. Wissen, 36 (1906), 223–242
3. J.-P. Serre, “Quelques problémes globaux rélatifs aux variétés de Stein”, Coll. Plus. Var. Bruxelles, 1953, 57–68
4. С. В. Феклистов, “Феномен продолжения Гартогса в почти однородных алгебраических многообразиях”, Матем. сб., 213:12 (2022), 109–136      ; S. V. Feklistov, “The Hartogs extension phenomenon in almost homogeneous algebraic varieties”, Sb. Math., 213:12 (2022), 1715–1739