Гипотеза о гармонических сферах

Гармонические сферы задаются гладкими отображениями римановой сферы в римановы многообразия, которые являются экстремальными для функционала энергии, задаваемого интегралом Дирихле. Они удовлетворяют нелинейным эллиптическим уравнениям, обобщающим уравнение Лапласа–Бельтрами. Если риманово многообразие в образе является кэлеровым, то голоморфные и антиголоморфные сферы реализуют локальные минимумы функционала энергии, однако этот функционал обычно обладает также неминимальными экстремалями.
С другой стороны, поля Янга–Миллса являются экстремалями для функционала действия Янга–Миллса. Локальные минимумы этого функционала задаются инстантонами и анти-инстантонами. Некоторое время считалось, что они исчерпывают все критические точки действия Янга–Миллса на 4-мерном евклидовом пространстве $\mathbb R^4$, пока не были построены примеры неминимальных полей Янга–Миллса.
Имеется очевидная формальная аналогия между полями Янга–Миллса и гармоническими отображениями, а после работы Атьи 1984 года стало ясно, что эта аналогия базируется на глубокой связи между этими объектами. В нашем докладе будет сформулирована гипотеза о гармонических сферах, утверждающая, что существует прямое соответствие между пространством модулей $G$-полей Янга–Миллса на $\mathbb R^4$ и пространством центрированных гармонических сфер в пространстве петель $\Omega G$ компактной группы Ли $G$. Доклад посвящен обсуждению указанной гипотезы и изложению идеи ее доказательства.