Гипотеза Банаха

90 лет назад С. Банах задал следующий вопрос: верно ли, что если у нормированного пространства V все подпространства фиксированной конечной размерности $k$, где $1 < k < n = \operatorname{dim}V$, изометричны между собой, то $V$ евклидово (то есть, норма порождена скалярным произведением)? Переводя на язык выпуклых множеств: пусть дано выпуклое центрально симметричное тело B в n-мерном нормированном пространстве, и все его сечения $k$-мерными векторными подпространствами линейно эквивалентны друг другу. Верно ли, что $B$ – эллипсоид? Положительный ответ был получен во многих случаях: Ауэрбахом, Мазуром и Уламом (1935), Дворецким (1959), Громовым (1967), Мильманом (1971), Бором, Ламонедой, Хименез-Десантьяго и Монтехано (2019). Почти все эти работы опираются на методы алгебраической топологии. Вопрос оставался открытым при $k+1=n$ кратных $4$ и $k+1=n=134$.

Совместно с С. В. Ивановым и Д. Мамаевым нам удалось решить задачу Банаха в самом маленьком ранее неизвестном случае: для $k+1=n=4$. Из-за параллелизуемости трехмерной сферы, применявшиеся в предыдущих работах топологические аргументы не дают никакой информации при $k=3$ и $n=4$.

В докладе будут даны несколько формулировок задачи Банаха, обзор существующих результатов и подходов, а также набросок нашего решения. Для понимания доклада будет достаточно знаний топологии и линейной алгебры на уровне первых курсов.