Квазисвободные пополнения алгебры Тёплица–Джекобсона и их гомологии Хохшильда

Алгебра Тёплица–Джекобсона (известная также как алгебраическая алгебра Тёплица) — это ассоциативная алгебра над полем комплексных чисел с двумя образующими $u, v$ и соотношением $uv=1$. У этой алгебры есть разнообразные пополнения, играющие важную роль в теории операторов и в некоторых аналитических аспектах некоммутативной геометрии. Самое известное среди таких пополнений — $C^*$-алгебра Тёплица, которая определяется как универсальная $C^*$-алгебра, порожденная одной изометрией. Другой важный пример — гладкая алгебра Тёплица, введенная Й. Кунцем. Наш доклад мотивирован тем фактом (замеченным независимо Р. Майером и О. Ю. Аристовым), что алгебра Тёплица–Джекобсона квазисвободна в смысле Кунца и Квиллена. С другой стороны, из одного общего результата О. Ю. Аристова следует, что $C^*$-алгебра Тёплица квазисвободной не является. В этой связи естественно возникает вопрос о том, квазисвободна ли гладкая алгебра Тёплица. Чтобы ответить на этот вопрос, мы вводим в рассмотрение некоторое семейство $T_{P,Q}$ пополнений алгебры Тёплица–Джекобсона, индексированных множествами Кёте $P$ и $Q$. Наш основной результат дает условие на $P$ и $Q$, достаточное для того, чтобы вложение алгебры Тёплица–Джекобсона в $T_{P,Q}$ было гомологическим эпиморфизмом. Это условие легко проверяется, например, для гладкой и голоморфной алгебр Тёплица, откуда следует, что эти алгебры квазисвободны. В качестве другого приложения мы вычисляем гомологии и когомологии Хохшильда указанных алгебр.