Спецкурс "Дифференциальные уравнения в приложениях". Блок "Задачи математической биологии". Лекция 1.

Пусть $\Omega$ – непустое множество. Обозначим через $2^{\Omega}$ множество всех подмножеств множества $\Omega$. Семейство $\mathcal{E}\subseteq 2^{\Omega}$ называется логикой множеств на $\Omega$, если выполнены условия: (i) $\Omega \in \mathcal{E}$; (ii) $ A\in\mathcal{E} \Rightarrow A^c:=\Omega\setminus A\in \mathcal{E}$; (iii) $A \cup B \in \mathcal{E}$ для всех $A,B \in \mathcal{E}$ с $ A\cap B= \emptyset$.
Логика множеств $\mathcal{E}$ называется $\sigma$-классом, если $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}\subset \mathcal{E}$, $A_n\cap A_m=\emptyset$ ($n\not= m$) $\Rightarrow \cup_{n=1}^{\infty}A_n\in \mathcal{E}$. Зарядом на логике множеств $\mathcal{E}$ называется отображение $\nu:\mathcal{E}\to \mathbb{R}$ такое, что $A, B \in \mathcal{E}$, $ A\cap B= \emptyset\Rightarrow \nu (A\cup B)=\nu (A)+\nu (B)$. Мерой на $\mathcal{E}$ называется заряд $\nu$ такой, что $\nu (A)\geq 0$ для всех $A \in \mathcal{E}$. Если $\nu (\Omega)=1$, то мера $\nu$ называется состоянием (или вероятностной мерой). Изучаемые нами $\sigma$-классы, а также заряды и меры на них относятся к “обобщенной теории меры”, которую можно рассматривать как самую близкую к классической (здесь “классическая” означает на "$\sigma$-алгебрах множеств") версию теории меры на квантовых логиках. О квантово-логическом подходе в аксиоматике физических систем см. [1]. Если $\mathcal{E}$ – логика множеств, то множество $\mathcal{S}$ всех состояний на $\mathcal{E}$ полно и пара $(\mathcal{E}, \mathcal{S}) $ удовлетворяет всем требованиям к модели физической системы [1].
В [2] мы продолжили исследования, проведенные многими авторами в 1994–2023 гг., уделяя особое внимание классам a) симметричных и b) асимметричных логик множеств. Нами уточнена аксиоматика асимметричных логик. Для логик $X(km,k)$ – семейств всех подмножеств $km$-элементного множества $X$, число элементов которых кратно $k$ – полностью описаны случаи, когда $X(km,k)$ a) симметрична или b) асимметрична. Для бесконечного множества $\Omega$ и натурального числа $n\geq 2$ построены логики множеств и полностью описаны случаи, когда эти логики асимметричны. Для асимметричной логики $\mathcal{E}$ определено, когда и множество $A\in \mathcal{E}$, и $A^c$ одновременно являются атомами логики $\mathcal{E}$. Пусть симметричная логика $\mathcal{E}$ подмножеств конечного множества $\Omega$ не является булевой алгеброй, пусть $\mathcal{A}$ – алгебра подмножеств $\Omega$ и Тогда существует мера на $\mathcal{E}$, которая не продолжается до меры на $\mathcal{A}$.
[1] Г.Д. Луговая, А.Н. Шерстнев, Функциональный анализ: специальные курсы. М.: Editorial URSS, 2019.
[2] А.М. Бикчентаев, А.М. Мохамед, Х. Фауаз, О классах симметричных и асимметричных логик множеств, Математика и теоретические компьютерные науки 2(1), 16–30 (2024)