Функциональные пространства и геометрия отображений

Пространство Соболева $L_p^1(D), p \in[1, \infty)$, на области $D \subset \mathbb{R}^n, n \geq 2$, состоит из локально суммируемых на $D$ функций, имеющих первые обобщенные производные, суммируемые в степени $p$. Полунорма функции $v \in L_p^1(D)$ равна норме в $L_p(D)$ ее обобщенного градиента $\nabla v$. Если $\varphi: D \rightarrow D^{\prime}-$ гомеоморфизм двух областей $D, D^{\prime} \subset \mathbb{R}^n$, возникает естественный вопрос: при каких условиях оператор композиции $\varphi^*: L_p^1\left(D^{\prime}\right) \rightarrow L_q^1(D), 1 \leq$ $q \leq p<\infty$, где $u=\varphi^*(v)=v \circ \varphi$, будет ограниченным. Мы получим более общую задачу, если вместо пространства $L_p^1\left(D^{\prime}\right)$ будем рассматривать весовое пространство Соболева $L_p^1\left(D^{\prime}, \omega\right)$, где $\omega$ — локально-суммируемая весовая функция. Мы приведем решение задачи в обобщенной постановке, и покажем, что при некоторых частных показателях суммируемости $q$ и $p$ полученные классы отображений совпадают с отображениями, изучаемыми в более ранних работах.
В рамках обобщенной теории получены результаты, которые являются новыми даже для классической теории квазиконформных отображений. Например, норма оператора композиции $\varphi^*: L_n^1\left(D^{\prime}\right) \rightarrow L_n^1(D)$ равна $K^{1 / n}$, где $K=\underset{x \in D}{\operatorname{ess} \sup } \frac{|D \varphi(x)|}{|\operatorname{det} D \varphi(x)|^{1 / n}}$ — коэффициент квазиконформности.
Будет показано также к каким новым вопросам приводит исследование связи «пространство Соболева — геометрия отображений» на специальном классе нильпотентных групп Ли: группах Карно. Здесь мы определим новый объект на группах Карно: отображения групп Карно класса Соболева $W_{\nu, \operatorname{loc}}^1(D)$ с конечным искажением, это отображения $\varphi: D \rightarrow \mathbb{G}$, где $D$ — область на группе Карно $\mathbb{G}$, класса Соболева $W_{\nu, \operatorname{loc}}^1(D)$ с неотрицательным якобианом такие, что $D \varphi(x)=0$ п. вс. на множестве нулей якобиана (здесь $\nu$ — размерность по Хаусдорфу группы $\mathbb{G}$). Установлено, что такие отображения непрерывны, $\mathcal{P}$-дифференцируемы почти всюду и обладают $\mathcal{N}$-свойством Лузина.