Точная квадратичная оценка длины вывода в одной системе подстановок Туэ

Мы рассматриваем систему подстановок слов в алфавите $\{a,b,c\}$, задаваемую следующими правилами: $a^2\to bc$, $b^2\to ac$, $c^2\to ab$. Д. Хофбауэр и Й. Вальдманн доказали, что при любом начальном слове $W$ любая цепочка вывода в этой системе обрывается за конечное число шагов. Из их доказательства можно получить только экспоненциальную верхнюю оценку длины вывода в зависимости от длины $W$. Был поставлен вопрос о существовании полиномиальной верхней оценки. Мы даём точную квадратичную оценку максимальной длины цепочек вывода в данной системе.