Коммутирующие скалярные дифференциальные (и не только) операторы в частных производных и пространства модулей пучков без кручения

В докладе планируется дать обзор результатов, полученных мной, а также совместно с соавторами, связанных с задачей о классификации коммутирующих (скалярных) дифференциальных, или более общо, дифференциально- разностных или интегрально-дифференциальных операторов от нескольких переменных. Задача при некоторых разумных ограничениях по существу сводится к описанию проективных алгебраических многообразий, обладающих непустым пространством модулей пучков без кручения с фиксированным полиномом Гильберта. Точнее говоря, оказывается возможным классифицировать так называемые квазиэллиптические кольца, которые описывают широкий класс колец операторов, встречающихся в теории интегрируемых систем. Они содержатся в некотором некоммутативном "универсальном" кольце — чисто алгебраическом аналоге кольца псевдодифференциальных операторов на многообразии и допускают (при некоторых слабых ограничениях) удобное алгебро-геометрическое описание. Это описание является естественным обобщением классификации колец коммутирующих обыкновенных дифференциальных или разностных операторов, описанной в работах Кричевера, Новикова, Дринфельда, Мамфорда, Муласе. При этом уже в случае размерности два имеются существенные ограничения на геометрию спектральных многообразий.