Топология слоения Лиувилля в задаче трёх магнитных вихрей со связью

Рассматривается вполне интегрируемая по Лиувиллю модель гамильтоновой механики с двумя степенями свободы, которая описывает движение двух точечных вихрей на плоскости $\mathbb R^2(x, y)$ при наличии третьего вихря, закреплённого в начале координат. Наличие ограничения в виде закреплённого вихря вдохновлено явлением топографических вихрей, возникающих над горами в океане и атмосфере. Рассматриваемая система обобщает движение гидродинамических параллельных вихревых нитей в безграничной идеальной жидкости и магнитных вихрей в ферромагнитной среде. Каждый свободный вихрь характеризуется ненулевой интенсивностью $\Gamma_\alpha$ и полярностью $\lambda_\alpha$, которая принимает значения $+1$ или $-1$ в зависимости от направления намагниченности.
Исследуется отображение момента данной системы и множество его критических точек. Для произвольных значений параметров найдено параметрическое представление критических окружностей и бифуркационная диаграмма в явном виде. Также определён тип устойчивости критических движений и индексы критических окружностей. За счёт дополнительного первого интеграла проведена редукция системы к гамильтоновой системе с одной степенью свободы.
В докладе будут рассмотрены два сложных 3-атома, которые возникают в результате сведения двух седловых особенностей на один совместный уровень первых интегралов. Оба атома имеют один и тот же особый слой $\mathbb S^1\times(\mathbb S^1\cup\mathbb S^1\cup\mathbb S^1)$ В первом случае, при прохождении через особый слой, один тор Лиувилля перестраивается в три тора ($3$-атом $D_1$). Данная бифуркация встречалась, например, в интегрируемом случае Горячева–Чаплыгина–Сретенского динамики твёрдого тела, а также в другой обобщённой задаче вихревой динамики. Во втором случае, при прохождении через особый слой происходит бифуркация двух торов Лиувилля в два тора ($3$-атом $D_2$). Второй тип особенности вызывает особый интерес, поскольку довольно редко встречается в реальных интегрируемых системах классической механики и математической физики. Ранее атом $D_2$ был численно обнаружен А.Ю. Москвиным при исследовании интегрируемого случая Дуллина–Матвеева на двумерной сфере.