Группы точек на абелевых поверхностях над конечными полями

Пусть дано гладкое проективное многообразие над конечным полем. У таких многообразий есть важный инвариант — точки многообразия, определенные над конечным полем. Их число всегда конечно. В случае, когда многообразие абелево, множество точек является конечной коммутативной группой. Можно попытаться описать группы, которые реализуются как группы точек абелевых многообразий. Для случая эллиптических кривых такая классификация получена Цфасманом, а также независимо Волохом и Рюкком, которые использовали результаты Схофа. Важно отметить, что в этой классификации многообразия сперва были разбиты на классы (классы изогении), а потом внутри класса описаны все возможные группы точек. В случае абелевых многообразий любой размерности, классы изогении можно классифицировать так. По теореме Тейта абелевы многообразия изогенны тогда и только тогда, когда у них совпадают характеристические многочлены автоморфизма Фробениуса на первых этальных когомологиях. Известно, что это за многочлены в малых размерностях. Я расскажу про классификацию групп точек на абелевых многообразиях над конечными полями в терминах этих многочленов при условии, что у них нет кратных корней. Неформально говоря, это общий случай. Кроме того, я скажу пару слов про аналогичную классификацию групп точек на абелевых поверхностях. Все необходимые сведения по алгебраической геометрии я напомню, а также постараюсь рассказать побольше примеров.