Эргодические свойства и эргодические коэффициенты для цепей Маркова (по совместным работам с Олегом Бутковским, Марией Веретенниковой и Александром Щеголевым)

Для исследования сходимости марковских цепей (МЦ) с конечным числом состояний к стационарному режиму сам А.А. Марков предложил коэффициент, много позднее названный коэффициентом эргодичности Добрушина. Поэтому автор предпочитает название "коэффициент эргодичности Маркова–Добрушина" (далее МД), хотя еще правильнее было бы называть его коэффициентом Маркова–Колмогорова–Добрушина. Основания для всего этого будут приведены в докладе. Пытаясь найти лучшую эффективную оценку скорости сходимости, автор доклада в ряде недавних работ предложил новую характеристику – спектральный радиус некоторого суб-марковского оператора, связанного с так называемым марковским каплингом. Примеры показывают, что новая оценка всегда не хуже той, которую обеспечивает "коэффициент эргодичности МД", в очень простых примерах может с ней совпадать, а в большинстве случаев оказывается лучше. Также, этот новый подход работает и для некоторых неоднородных МЦ (впрочем, как и аналог коэффициента МД). В то же время, для однородных МЦ известен результат Гантмахера о том, что неулучшаемую оценку предоставляет некоторая экспоненциально убывающая функция с показателем, равным логарифму модуля второго собственного значения переходной матрицы или оператора. В докладе будет показана связь нового коэффициента c этой неулучшаемой оценкой: именно, оказывается, рассматривая аналог упомянутого выше суб-марковского оператора за несколько шагов, можно сколь угодно близко приблизиться к данной наилучшей оценке. Заметим, что для неоднородных МЦ подход на основе второго собственного значения вообще не работает. Наконец, будет показано как новый коэффициент может быть применен к оценке скорости сходимости для некоторых классов нелинейных МЦ с помощью метода малых возмущений.