Первые шаги вещественной исчислительной геометрии

Следуя классической традиции, к исчислительной геометрии принято относить задачи о числе алгебро-геометрических объектов, подчиненных определенным геометрическим условиям, как, например, подсчет прямых на кубических поверхностях (задача Кэли) или подсчет коник, касательных к данным пяти коникам (задача Штейнера). За последние лет двадцать комплексная исчислительная геометрия превратилась в бурно развивающуюся область и обогатилась мощными новыми методами (инварианты Громова–Виттена, квантовые когомологии, зеркальная симметрия, и т.п.). Вещественная же еще только в самом начале пути.
Как показали недавние исследования, во многих вещественных исчислительных задачах число вещественных решений оказывается сравнимым (например, в логарифмической шкале) с числом комплексных. В настоящее время это явление наиболее изучено в случае интерполяции точек рациональных поверхностей рациональными кривыми. Решающим инструментом здесь служат инварианты Вельшанже. Эти инварианты можно рассматривать как вещественный аналог инвариантов Громова–Виттена.
В этом докладе, основанном на серии совместных работ с И. Итенбергом и Е. Шустиным, после краткого напоминания конструкции Вельшанже будет рассказано о рекуррентных формулах, позволяющих вычислять инварианты Вельшанже, и об их применении к доказательству обильности вещественных решений. В этой же связи будут обсуждаться численные свойства инвариантов Вельшанже.