О пространствах максимальных идеалов инвариантных алгебр функций на однородных пространствах компактных групп Ли

Пусть $H$ — однородное пространство компактной связной группы Ли $G$ и $A$ — замкнутая $G$-инвариантная подалгебра $C(H)$, которая содержит все постоянные функции. Алгебра $A$ содержит максимальный инвариантный идеал $J$. Будут рассмотрены крайние случаи $J=0$ и ${\mathop{\rm{codim}} J}=1$.
Если $J=0$, то при некоторых дополнительных ограничениях можно доказать, что $A$ и $H$ допускают конечномерную реализацию: $G$ — линейная группа, $H=Gv$ — орбита вектора $v$, а орбита $H_{\mathbb C}=G^{\mathbb C}v$ замкнута. Тогда $A$ равна замыканию алгебры всех голоморфных полиномов в $C(H)$, а ее пространство максимальных идеалов ${\cal M}_{A}$ совпадает с полиномиальной оболочкой $H$, которая содержится в $H_{\mathbb C}$.
Если однородное пространство $H$ коммутативно (это значит, что алгебра инвариантных дифференциальных операторов на нем абелева) и $A$ антисимметрична (то есть $A$ содержит лишь постоянные вещественные функции), то ${\mathop{\rm{codim}} J}=1$. В частности, это верно для $H=G\times G/G$, и тогда ${\cal M}_{A}$ может быть описано подробно.