О теореме Бэйтмана–Каца

Рассмотрим множество $A$ из $F_3^n$, не содержащее трех коллинеарных точек. Какова может быть мощность такого множества? Если взять в качестве $A$ все векторы из 0,1, то есть множество мощности $2^n$, то легко убедиться, что в $A$ нет решений уравнения $x-y=y-z$. С верхней границей на мощность множества $A$ дело обстоит очень плохо. Обычное применение метода Рота дает лишь оценку $|A| = O(3^n/n)$. Долго стоял вопрос о каком-либо улучшении последнего неравенства. В феврале этого года Бэйтман и Кац усилили оценку на мощность множества $A$, доказав, что $|A| = O(3^n/n^{1+\epsilon})$, $\epsilon >0$ — некоторое число. В докладе мы обсудим основные идеи, использующие в методе Бэйтмана–Каца.