Некоторые решения полулинейного уравнения с дробным лапласианом в $\mathbb R^n$

Описывается вариационный метод построения ограниченных решений дробного уравнения $(-\Delta)^s u+u-|u|^{q-2}u=0$ в $\mathbb R^n$ при $n\ge2$ и докритических значениях $q>2$. Для локального случая ($s=1$) этот метод был ранее развит в работе [1], однако в нелокальной постановке он требует серьезной модификации: решения уравнения в пространстве конструируются из решений аналогичного уравнения с различными операторами дробного лапласиана в областях специального вида. Предложенным методом строятся решения уравнения с различными структурами (радиальные, прямоугольные, треугольные, гексагональные, бризеры и пр.), как положительные, так и знакопеременные.
Доклад основан на совместной работе с А.П. Щегловой [2].

Список литературы

1. L.M. Lerman, P.E. Naryshkin, A.I. Nazarov, “Abundance of entire solutions to nonlinear elliptic equations by the variational method”, Nonlinear Analysis – TMA, 190 (2020), 1–21  
2. A.I. Nazarov, A.P. Shcheglova, “Solutions with various structures for semilinear equations in $\mathbb R^n$ driven by fractional Laplacian”, Calc. Var. and PDEs, 62, N4 (2023), N112, 1–31