Аннотация:
Совместно ортогональные полиномы Эрмита $H_{(n_1,n_2)}(x)$ с мультииндексом $(n_1,n_2) \in \mathbb{Z}^2_{+}$ определяются соотношениями
ортогональности
\begin{equation}
\begin{cases} \int_{-\infty}^{+\infty} H_{(n_1,n_2)}(x)x^{\nu}e^{-x^2-2\alpha
x}dx=0, \quad \nu = 0,1, ..., n_1-1\\
\int_{-\infty}^{+\infty} H_{(n_1,n_2)}(x)x^{\nu}e^{-x^2+2\alpha x}dx=0, \quad
\nu = 0,1, ..., n_2-1
\end{cases} \quad \alpha\neq 0,
\end{equation}
и удовлетворяют некоторым рекуррентным соотношениям. Однако можно убедиться,
что $H_{n_1,n_2}(x)$ являются решениями дифференциального уравнения третьего
порядка [1]
\begin{equation}
\frac{d^3 H}{ d x^3}-4x \frac{d^2 H}{d x^2}+(4x^2-4\alpha^2
+2(n_1+n_2-1))\frac{d H}{d x}- 4(x(n_1+n_2)-\alpha(n_1-n_2))H=0.
\end{equation}
В докладе обсуждается подход, позволяющий получить глобальную асимптотику
полиномов при больших индексах, опираясь на приведенное уравнение. Особенность
задачи заключается в том, что символ соответствующего дифференциального
оператора комплексный и связан с кривой, определяемой многочленом третьей
степени. Используя операторные методы и идею канонического оператора Маслова
[2], мы расщепляем уравнение на два уравнения более низких порядков, избавляемся
от комплексности и получаем глобальную асимптотику для решения в виде линейной
комбинации функции Эйри ${\rm Ai}$ и ее производной сложного аргумента.
Доклад основан на совместной работе с С.Ю. Доброхотовым [3].
Список литературы
A. I. Aptekarev, A. Branquinho, W. Van Assche, “Multiple orthogonal polynomials for classical weights”, Trans. Amer. Math. Soc., 355:10 (2003), 3887–3914
В. П. Маслов, Операторные методы, Наука, М., 1973
S. Yu. Dobrokhotov, A. V. Tsvetkova, “Asymptotics of multiple orthogonal Hermite polynomials $H_{n_1,n_2}(z,\alpha)$ determined by a third-order differential equation”, Rus. J. Math. Phys., 28:4 (2021), 439–454
Обратная связь: