Адиабатическая эволюция, порождённая оператором Шрёдингера: поведение квантовой частицы после исчезновения связанного состояния

Мы рассматриваем уравнение Шрёдингера

$$\begin{equation} \label{schroedinger} i \varepsilon \frac{\partial \Psi}{\partial \tau} = - \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + v(x, \tau) \Psi, \quad \tau \in \mathbb{R}, \quad x \geq 0, \quad \varepsilon \to 0, \end{equation}$$

дополненное граничным условием $\left. \Psi \right|_{x = 0} = 0$. Потенциал $v(x, \tau)$, равный $-1$ на отрезке $0 \leq x \leq 1 - \tau$ и нулю вне этого отрезка, представляет собой сужающуюся с течением времени прямоугольную потенциальную яму. Спектр оператора $H(\tau) = - \frac{\partial^2}{\partial x^2} + v(x, \tau)$ с условием Дирихле при $x = 0$ состоит из непрерывного спектра $\sigma_c = [0, +\infty)$ и точечного спектра, содержащего ровно $n$ отрицательных собственных значений при $\tau_{n+1} \leq \tau < \tau_n$, где $\tau_n = 1 - \pi (n - 1/2)$, $n \in \mathbb{N}$. Когда $\tau$ приближается к критическому значению $\tau_n$, $n$-е собственное значение $E_n(\tau)$ приближается к краю $\sigma_c$ и, достигнув его, исчезает.
Мы изучаем построенное А.Федотовым в [1] решение $\Psi_n$ уравнения $\eqref{schroedinger}$, имеющее асимптотику вида

$$\begin{equation} e^{-\frac{i}{\varepsilon} \int \limits_{\tau_n}^{\tau} E_n(s) \,\mathrm{d} s} \sum \limits_{m = 0}^{\infty} \varepsilon^m \psi_{n,\,m} (x, \tau), \quad \varepsilon \to 0, \end{equation}$$

пока $E_n(\tau)$ существует. Здесь $\psi_{n,\,0} (\cdot, \tau)$ — $n$-я собственная функция $H(\tau)$. При $\tau \gtrsim \tau_n$ асимптотическое поведение $\Psi_n$ меняет характер. Асимптотики внутри потенциальной ямы были описаны в [1,2]. Мы описываем асимптотику вне её, как вблизи момента исчезновения $E_n(\tau)$ [3], так и после него.
Рассматриваемая задача родственна задаче распространения звука в мелком водном слое переменной глубины, которая на физическом уровне строгости изучалась, напр., в [4], а на математическом – в [5].
Доклад основан на совместных работах с А.А. Федотовым.

Список литературы

1. A. Fedotov, “Adiabatic evolution generated by a one-dimensional Schrödinger operator with decreasing number of eigenvalues”, 2016, arXiv: 1609.09473
2. А. Б. Смирнов, А. А. Федотов, “Адиабатическая эволюция, порожденная оператором Шрёдингера с дискретным и непрерывным спектрами”, Функц. анализ и его прил., 50:1 (2016), 90–93
3. В. А. Сергеев, А. А. Федотов, “О делокализации квантовой частицы при адиабатической эволюции, порожденной одномерным оператором Шрёдингера”, Матем. заметки, 112:5 (2022), 752–769
4. Allan D. Pierce, “Guided mode disappearance during upslope propagation in variable depth shallow water overlying a fluid bottom”, J. Acoust. Soc. Am., 72 (1982), 523–531
5. А. А. Федотов, “Об адиабатических нормальных волнах в прибрежном клине”, Зап. научн. сем. ПОМИ, 471 (2019), 261–285