Contact vs symplectic geometry

В докладе будет показано как некоторые симплектичнские уравнения типа Монжа-Ампера можно решать, применяя к ним контактные преобразования.
Как известно, симплектические уравнения Монжа-Ампера с двумя независимыми переменными локально симплектически эквивалентны линейным уравнениям с постоянными коэффициентами тогда и только тогда, когда соответствующая скобка Нийенхейса равна нулю (теорема Лычагина-Рубцова). Необходимые и достаточные условия контактной эквивалентности общих (не обязательно симплектических) уравнений Монжа-Ампера линейным были найдены Кушнером.
Используя эти результаты, мы рассмотрим задачу построения точных решений некоторых уравнений, возникающих в теории фильтрации. А именно, мы рассмотрим модель нестационарного вытеснения нефти раствором активных реагентов. Эта модель описывает процесс добычи нефти из трудноизвлекаемых месторождений. Данная модель описывается гиперболической системой уравнений в частных производных первого порядка типа Якоби. Неизвестные функции - это водонасыщенность и концентрация реагентов в водном растворе, а независимые переменные - время и линейная координата.
С помощью симплектических и контактных преобразований оказалось возможным приведение уравнений модели к линейному волновому уравнению. Получено точное решение данной системы и решена задача Коши.