О топологических группах и их инвариантах

1. Топологические группы представляют собой один из основных объектов топологической алгебры. Они описываются как комбинация на одном и том же множестве топологии и групповой структуры, подчиненная некоторым естественным требованиям непрерывности возникающих отображений квадрата этого множества на себя. Замечательным фактом является теорема Л. С. Понтрягина [1] о том, что каждая топологическая группа, являющаяся $T_1$-пространством (т. е. в которой все конечные подмножества замкнуты) является тихоновским пространством (т. е. вполне регулярна). Отсюда вытекает, что все топологические группы являются подпространствами компактных хаусдорфовых пространств, т. е. имеют компактные хаусдорфовы расширения. Напомним, что компактное хаусдорфово пространство $bX$ называется компактным расширением пространства $X$, если $X$ можно представить как всюду плотное подпространство пространства $bX$; при этом пространство $Y=bX\setminus X$ называется наростом пространства $X$ в его расширении $bX$. Следовательно, с каждой некомпактной топологической группой связано множество ее наростов во всевозможных компактных хаусдорфовых расширениях. Этих наростов (попарно негомеоморфных) обыкновенно много. Неожиданный, как мне кажется, факт, связанный с ними заключается в том, что все наросты произвольной топологической группы $G$ обладают одной «степенью компактности», а именно, имеет место следующая теорема.
Теорема 1 (о дихотомии, 2008 г. [2]). Каждый нарост произвольной топологической группы в любом ее компактном хаусдорфовом расширении либо псевдокомпактен, либо линделёфов. Более того, у любой некомпактной группы либо все наросты линделёфовы, либо все они псевдокомпактны.

При этом топологическое пространство линделёфово, если из каждого его открытого покрытия можно выделить не более чем счетное подподкрытие, и псевдокомпактно, если оно вполне регулярно (т. е. является подпространством компактного хаусдорфова пространства) и каждая непрерывная вещественная функция на нем ограничена. Псевдокомпактные линделёфовы пространства — это в точности компактные хаусдорфовы пространства.
Напомним также, что топологическое пространство паракомпактно, если во всякое его открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие. Паракомпактные перистые (линделёфовы перистые) топологические группы можно охарактеризовать как топологические группы, которые допускают замкнутый гомоморфизм с компактным ядром на метризуемую (сепарабельную метризуемую) топологическую группу.
Теорема [1] имеет ряд следствий. Случай, когда все наросты линделёфовы, характеризуется так.
Teoрема 2. Все наросты не локально компактной топологической группы псевдокомпактны в том и только том случае, если эта топологическая группа является линделёфовым перистым пространством.

Отсюда следует, например, такой удивительный факт.
Теорема 3. Для наростов не локально компактной топологической группы паракомпактность, полнота по Дьёдонне и линделёфовость равносильны.

Таким образом, линделёфовость нароста не локально компактной топологической группы равносильна тому, что эта топологическая группа является линделёфовым перистым пространством.
Сами наросты одной и той же топологической группы, конечно, могут быть негомеоморфными и даже иметь разную мощность (например, отрезок и окружность — компактные расширения прямой с двух- и одноточечными наростами соответственно).
2. В классе топологических групп многие топологические свойства ведут себя гораздо лучше, чем в классе топологических пространств. Возникают, в частности, некоторые теоремы об инвариантности этих свойств, которые не действуют в классе всех топологических пространств. Например, произведение псевдокомпактных топологических групп всегда является псевдокомпактной топологической группой — это теорема Комфорта и Росса (см. [3]), в то время как произведение двух псевдокомпактных пространств не обязательно псевдокомпактно. Возникают также новые импликации. Например, замечательна теорема М. Г. Ткаченко, обобщенная В. В. Успенским, которая говорит, что если топологическая группа $\sigma$-компактна (т. е. является объединением не более чем счетного множества своих компактных подпространств), то число Суслина этой топологической группы счетно, т. е. каждое семейство попарно непересекающихся открытых множеств не более чем счетно [4, 5]. Заметим при этом, что число Суслина компактной топологической группы всегда не более чем счетно по той причине, что на компактной топологической группе всегда есть мера Хаара (т. е. ненулевая мера, определенная на все компактных подмножествах и инвариантная относительно сдвигов), в то время как на $\sigma$-компактной топологической группе может не быть ничего похожего на меру Хаара.
3. Одна из больших нерешенных общих проблем теории топологических групп состоит в следующем.
Проблема. Дано топологическое свойство $\mathscr P$. Когда каждое тихоновское пространство со свойством $\mathscr P$ можно представить как замкнутое подпространство топологической группы со свойством $\mathscr P$?
Заметим, что известна фундаментальная теорема выдающегося советского математика А. А. Маркова о том, что каждое тихоновское пространство является замкнутым подпространством некоторой топологической группы, а именно, своей свободной топологической группы [6]. Это дает ответ на поставленный выше вопрос в некоторых ситуациях.
Теория топологических групп и их инвариантов свидетельствует, что топологическая алгебра имеет совершенно своеобразный вид в классе топологических групп и глубоко отличается от теории топологических инвариантов тихоновских топологических пространств вообще и имеет свои привлекательные задачи.



[1] Л. С. Понтрягин. Непрерывные группы. — М.–Л.: ГОНТИ, 1938.
[2] Arhangel'skii A. V. Two types of remainders of topological groups // Comment. Math. Univ. Carol. — 2008. — V. 49, No. 1. — P. 119–126.
[3] Arhangel'skii A., Tkachenko M. Topological Groups and Related Structures. — Amsterdam–Paris: Atlantis Press / World Scientific, 2008.
[4] Ткаченко М. Г. О свойстве Суслина в свободных топологических группах над бикомпактами // Матем. заметки. — Т. 34, № 4. — 1983. — C. 601–607.
[5] Успенский В. В. О непрерывных образах линделёфовых топологических групп // ДАН СССР. — Т. 285, № 4. — С. 824–827.
[6] Марков А. А. О свободных топологических группах // ДАН СССР. — Т. 31, № 4. — 1941. — С. 299–302.