Моделирование распространения волновых возмущений в гетерогенных средах сеточно-характеристическим методом. Часть II. Численное моделирование распространения волновых возмущений в твёрдых гетерогенных средах сложной геометрии сеточно-характеристическим методом

В работе рассматривается построение сеточно-характеристического численного метода на неструктурированной расчётной сетке для решения динамических задач механики твёрдого тела в приближении малых деформаций. Метод ориентирован на выполнение расчётов распространения упругих волн в биологических и иженерных объектах сложной формы, для которых область интегрирования описывается с использованием неструктурированной расчётной сетки из тетраэдров. В работе представлена реализация метода для гетерогенных анизотропных сред с наличием внутренних контактных границ.
Определяющая система уравнений в частных производных, описывающая динамические процессы в деформируемом твёрдом теле в трёхмерном случае, имеет следующий характерный вид [1]:
\begin{equation*} \frac{\partial \vec{w}}{\partial t} + A_x \cdot \frac{\partial \vec{w}}{\partial x} + A_y \cdot \frac{\partial \vec{w}}{\partial y} + A_z \cdot \frac{\partial \vec{w}}{\partial z} = 0 \end{equation*}

В этой записи $\vec{w}$ - вектор неизвестных, $A_x, A_y, A_z$ - постоянные матрицы. Точный вид $\vec{w}, A_i$ зависит от используемых реологических моделей.
Построение сеточно-характеристического численного метода основано на том факте, что для многих практически значимых постановок существует [2] аналитическое разложение матриц в виде $A_i = \Omega_i^{-1} \cdot \Lambda_i \cdot \Omega_i$. При этом для решения многомерной системы уравнений можно использовать расщепление по направлениям [1]. После введения обозначения $\vec{u} = \Omega \cdot \vec{w}$, исходная система распадается на независимые уравнения относительно инвариантов Римана $u_i$.
При этом при выполнении расчётов для иженерных или природных объектов сложной формы область интегрирования описывается, как правило, с использованием неструктурированной расчётной сетки, в двухмерном случае – из треугольников, в трёхмерном – из тетраэдров. Таким образом, требуется численно решать уравнения для инвариантов Римана на такой сетке с высоким порядком аппроксимации.
При практической реализации численных схем частым их желательным свойством является обеспечение разумно высокого порядка аппроксимации без необходимости использования сложного сеточного шаблона. Одним из традиционных подходов к этой задаче является использованием компактных продолженных схем [3]. Для сеточно-характеристического метода на структурированных расчётных сетках данный подход также применим [4]. Однако, для неструктурированной расчётной сетки такой подход на данный момент не реализован и в целом сталкивается со значительными трудностями.
Другим способом повышения порядка является введение дополнительных точек на рёбрах и гранях элементов сетки [6]. Этот подход хорошо показал себя в решении многих задач. Однако, он также содержит и некоторые недостатки, связанные с аппроксимацией перемещений для расчётной сетки со сложной топологией ячеек.
В данной работе предлагается подход к построению на неструктурированной расчётной сетке варианта сеточно-характеристического численного метода высокого поряда без усложнения её топологии. Используется построение интерполяционного полинома по ближайшим точкам соседних ячеек расчётной сетки с сохранением простой топологии каждой отдельной ячейки. Данный подход является некоторым аналогом классического расширения шаблона на структурированной сетке.
Полученная таким образом численная схема обеспечивает получение решения для непрерывно дифференцируемых, непрерывных, разрывных решений. При расчёте распространения волновых возмущений в твёрдых гетерогенных средах численное решение воспроизводит распространение продольных и поперечных волн, их взаимодействие с внешними границами образца и с внутренними контактными границами между областями с разными реологическими параметрами материалов.
В работе получены численные решения для задач о распространении короткого импульса нагрузки в слоистом композите и об УЗИ-контроле композита. Также показано применение сеточно-характеристического метода к некоторым биомедицинским задачам - численное моделирование ультразвукового исследования головы человека, импульсное нагружение торса человека.
\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{1} Петров И.Б., Холодов А.С. Численное исследование некоторых динамических задач механики деформируемого твёрдого тела сеточно-характеристическим методом // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1984. Т. 24. № 5. С. 722–739.
\bibitem{2} Челноков Ф.Б. Явное представление сеточно-характеристических схем для уравнений упругости в двумерном и трехмерном пространствах // Матем. моделирование. 2006. Т. 18. № 6. С. 96–108.
\bibitem{3} Рогов Б. В., Михайловская М. Н. Монотонные бикомпактные схемы для линейного уравнения переноса. Матем. моделирование. 2011. Т. 23. № 6. С. 98–110.
\bibitem{4} Голубев В. И., Петров И. Б., Хохлов Н. И. Компактные сеточно-характеристические схемы повышенного порядка точности для трёхмерного линейного уравнения переноса. Матем. моделирование. 2016. Т. 28. № 2. С. 123–132.
\bibitem{5} Васюков А. В., Петров И. Б. Использование сеточно-характеристического метода на неструктурированных сетках из тетраэдров с большими топологическими неоднородностями. Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018. Т. 58. № 8. С. 62–72.
\bibitem{6} Петров И. Б., Фаворская А. В. Библиотека по интерполяции высоких порядков на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках. Информационные технологии. 2011. № 9. C. 30–32.