Метод преобразования Фурье для уравнений в частных производных

Предлагается метод анализа задачи Коши для эволюционных уравнений в частных производных, базирующийся на преобразовании Фурье. Используя этот метод:
1. Получены формулы представления решений задачи Коши для широкого класса уравнений вида $\partial_t u(t,x)+\Sigma_{|\alpha|\leq m}\varepsilon_\alpha a_\alpha (t) \partial_x^\alpha u(t,x) =f(t,x)$, где $\varepsilon_\alpha=x_i $ или 1. Уравнения, подпадающие под рассмотренные типы, встречаются при описании физико-химических, биологических процессов, в задачах диффузионного пограничного слоя.
2. Доказаны локально по временной переменной существование и единственность решений задачи Коши для линейных уравнений

$$\partial_t u(t,x)+\Sigma_{|\alpha|\leq m}a_\alpha (t,x) \partial_x^\alpha u(t,x) =f(t,x) \tag{1}$$
с коэффициентами, которые по пространственным переменным являются целыми функциями экспоненциального типа, а по временной переменной непрерывны. Отметим одну особенность рассмотренных здесь задач. Как известно, уравнение $\partial_t u(t,x)+ a\partial_x^2 u(t,x)=0$ при $a<0$ является параболическим и задача Коши для него имеет единственное решение. Если же $a>0$, то задача Коши некорректна и при многих начальных условиях решений нет. Возникает вопрос, разрешима ли эта задача при знакопеременном коэффициенте $a(x)$, например, при $a(x)=\dfrac{\sin{x}}{x}$. Здесь приводится решение и этого вопроса в более общем случае уравнения (1).
3. Доказано существование решений задачи Коши в случае уравнений со степенными нелинейностями с постоянными по пространственным переменным коэффициентами, а также с переменными коэффициентами, определенными в п.2. Рассмотренные классы уравнений включают в себя в большом количестве известные уравнения прикладного характера.

^* Семинар проходит онлайн. Для получения доступа к zoom конференции просьба обращаться к В.Ю. Протасову: v-protassov@yandex.ru