Семейства эллиптических кривых, формальные группы и дифференциальные уравнения

В докладе будет представлен явный вид закона сложения формальной группы, названной эллиптической формальной группой, и соответствующей общей модели Вейерштрасса эллиптической кривой в арифметической униформизации Тейта. Из этого результата получен ряд следствий. В частности, найден явный вид экспоненты эллиптической формальной группы и дифференциальные уравнения, решениями которых она является. Экспонента эллиптической формальной группы оказалась эллиптической функцией порядка 2 либо 3 в невырожденном случае.
В докладе будет показана связь экспоненты эллиптической формальной группы с решениями в форме бегущей волны уравнения Кортевега–де Фриза и модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза. Род Хирцебруха, заданный экспонентой эллиптической формальной группы, принимает значения в кольце полиномов с целыми коэффициентами от 5 переменных на любом стабильно-комплексном многообразии. Этот род обобщает известные роды: двупараметрический род Тодда, L-род и эллиптический род Ошанина–Виттена.
В докладе будут представлены результаты по известной задаче о кольцах, над которыми классическая сигма-функция Вейерштрасса разлагается в ряд Гурвица. Будет представлено решение уравнения теплопроводности в терминах $\sigma$-функции, динамика параметров которой описывается решениями уравнения Шази. В качестве следствия на основе преобразования Коула–Хопфа будут построены соответствующие решения уравнения Бюргерса.
В докладе будет введена формальная группа Кричевера, экспонента которой задаёт род Кричевера, и рассмотрена её связь с эллиптической формальной группой. Будет представлена классификация эллиптических формальных групп Кричевера. В качестве следствия мы получим новые роды Хирцебруха, обладающие сразу двумя фундаментальными свойствами: они являются целочисленными над кольцом полиномов с целыми коэффициентами от параметров эллиптической кривой, и при этом соответствующие им эквивариантные роды являются жёсткими на многообразиях с $S^1$-эквивариантной SU-структурой.
Все необходимые определения будут даны в ходе доклада.