Когомологически жёсткие семейства многообразий, ассоциированные с идеальными прямоугольными гиперболическими многогранниками

Известна проблема классификации гладких многообразий с точностью до диффеоморфизма. Для односвязных многообразий размерности пять и выше классические результаты в этой области были получены С. П. Новиковым в 1960-х годах. В общем случае для различения двух гладких многообразий недостаточно изоморфизма их колец когомологий. Торическая топология, получившая значительное развитие благодаря работам В. М. Бухштабера и Т. Е. Панова, даёт богатые примеры семейств многообразий, в которых элементы различаются при помощи этого инварианта. Такие семейства называются когомологически жёсткими. Известны семейства, построенные в работе В. М. Бухштабера, Т. Е. Панова, М. Масуды, С. Пак и Н. Ю. Ероховца 2017 года. Одно из них состоит из шестимерных квазиторических многообразий, второе — из трёхмерных гиперболических многообразий, отвечающих трёхмерным прямоугольным ограниченным многогранникам в пространстве Лобачевского. Первое семейство жёстко над $\mathbb{Z}$, второе — над $\mathbb{Z}_2$. Каждое 3-мерное многообразие из семейства склеено из восьми копий соответствующего ему многогранника. В докладе планируется рассказать о когомологически жёстких семействах шестимерных и трёхмерных многообразий, параметризуемых трёхмерными идеальными прямоугольными гиперболическими многогранниками. Каждое рассматриваемое нами трёхмерное многообразие является дублем многообразия с краем, внутренность которого имеет гиперболическую структуру конечного объёма, получаемую склейкой четырёх копий многогранника. Край состоит из конечного набора торов, задающих в многообразии-дубле геометрическое разложение по Тёрстону. Семейства многообразий достаточно богаты: трёхмерных идеальных прямоугольных гиперболических многогранников столько же, сколько комбинаторных типов всех трёхмерных многогранников с точностью до перехода к двойственному многограннику.