Весовые системы, связанные с алгебрами Ли

В теории В. А. Васильева инвариантов узлов конечного порядка такому инварианту сопоставляется функция на хордовых диаграммах. Хордовая диаграмма — простой комбинаторный объект, представляющий собой ориентированную окружность с конечным набором хорд, имеющих различные концы. Такие функции удовлетворяют 4-членным соотношениям Васильева; в свою очередь, функции, удовлетворяющие этим соотношениям, называются весовыми системами. Согласно теореме Концевича это соответствие, по существу, взаимно однозначно: каждая весовая система определяет инвариант узлов.
В частности, весовую систему можно построить по всякой полупростой алгебре Ли — такие весовые системы отвечают квантовым инвариантам узлов. Однако уже в простейшем нетривиальном случае — для алгебры Ли $sl(2)$ — вычисление значений соответствующей весовой системы является вычислительно сложной задачей. В то же время, эта весовая система чрезвычайно важна, поскольку она соответствует знаменитому инварианту узлов — крашенному многочлену Джонса.
В 2022 году был достигнут существенный прогресс как в понимании природы, так и в вычислении весовых систем, отвечающих алгебрам Ли, причем не только для алгебры Ли $sl(2)$, но и для других алгебр Ли, в первую очередь, для $gl(N)$-весовых систем для произвольных $N$ . Были выведены новые рекуррентные соотношения, которые позволили получить множество явных формул. Разработанные методы вычисления основываются на идее М. Э. Казаряна, который предложил продолжить $gl(N)$-весовую систему на перестановки.
Доклад основывается на работах М. Э. Казаряна, докладчика и студентов П. Закорко, П. Зиновой и Чжоке Янга.