Изгибания скольжения поверхностей и гипотеза Эйлера

Изгибание поверхности называется изгибанием скольжения, если точки поверхности изменяют свое положение в пространстве, оставаясь на самой поверхности. Такие изгибания рассматривались еще Бианки, упомянуты они и у В.Ф. Кагана. У классиков доказано, что локально метрика таких поверхностей является метрикой вращения. Вопрос об их глобальном строении поставлен, например, М.Спиваком. Автором доказано (1995), что глобально такие поверхности гомеоморфны сфере или тору. Мы рассматриваем вопрос об их деформации в классе изгибаний скольжения и доказываем, что любая компактная поверхность с метрикой вращения допускает, причем единственное, линейно независимое поле б.м. изгибаний скольжения 1-го порядка и выводим точный явный вид таких изгибаний. Но проблема в том, чтобы выяснить, являются ли эти б.м. изгибания тривиальными или нет. Мы предлагаем алгоритм проверки этого свойства. В случае их тривиальности доказываем, что тогда поверхность обязательно является поверхностью вращения. Значит, если метрика вращения реализована в $R^3$ не в виде поверхности вращения, тогда эта реализация обязательно является нежесткой поверхностью. В этом случае мы изучаем возможность продолжения ее б.м. изгибаний 1-го порядка в б.м. изгибания 2-го порядка и получаем признаки их отсутствия и тем устанавливаем признаки справедливости гипотезы Эйлера в классе аналитических по параметру изгибаний скольжения.
Доклад проходил в рамках научной конференции "Ломоносовские чтения 2023"