Новые характеризации нормального и гамма распределений с использованием независимости двух статистик и теоремы Аносова

Среди распределений на всей прямой и на положительной полупрямой, нормальное распределение (N) и гамма распределение (Г) играют заметную роль. Они изучены очень подробно, что важно и для теории, и для приложений. В литературе имеются разнообразные характеризации для этих распределений, включительно через свойство независимости двух подходяще подобранных статистик, скажем А и В. Хорошо известны классические результаты: для N, А – это выборочное среднее, а В – выборочная дисперсия; для Г, А – выборочное среднее, В – выборочный коэффициент вариации. Много лет назад, Д.В. Аносов, со ссылкой на Ю.В. Линника, предложил использовать (непростое) интегро–дифференциальное уравнение, чтобы доказать новую теорему о характеризации N. Спустя много лет метод Аносова был существенно расширен и это позволило установить новые характеризации для N. Более того, был найден вариант теоремы Аносова и интегро–дифференциальное уравнение, уже подходящие для изучения Г. Таким образом, ныне мы имеем новые характеризации для N и для Г. Будут представлены общие результаты, основанные на независимости статистики А – выборочное среднее, и статистики В – теперь выбранной из большого класса однородных допустимых статистик. Этот класс задается в терминах порядковых статистик. Наблюдается интересная параллель между новыми результатами для N и для Г. Особый интерес представляют ряд следствий, которые не только новые, но они даны в понятных терминах, напр. как размах выборки, или коэффициент Джини. Будут предложены несколько открытых вопросов. В докладе будут представлены результаты, полученные после многолетней совместной работы докладчика с G.D. Lin, C.Y. Hu (Taipei). Есть две статьи, одна из которых для N, уже опубликована в AISM, Tokyo (Springer 2022), вторая ––– для Г, принята к печати (2023).