Геометрия чисел Гурвица

Числа Гурвица перечисляют разложения данной перестановки в произведение перестановок предписанного циклического типа. У них имеются многочисленные варианты в зависимости от того, какие требования накладываются на разлагаемую перестановку и на сомножители. Все варианты чисел Гурвица, упакованные должным образом в производящие функции от бесконечного числа переменных, являются решениями интегрируемых иерархий уравнений математической физики. Числа Гурвица перечисляют также разветвленные накрытия двумерной сферы с предписанными данными ветвления, т.е. мероморфные функции на кривых данного рода. Именно задача перечисления мероморфных функций и послужила причиной интереса А. Гурвица к этим числам. Такая их интерпретация позволяет установить связь между числами Гурвица и геометрией пространства модулей алгебраических кривых. Наиболее ярко она проявляется в случае простых чисел Гурвица, перечисляющих разложение перестановки в произведение данного числа транспозиций, – формула ELSV (2000) дает явное их выражение через индексы пересечения естественных векторных расслоений над пространствами модулей. Упомянутая формула работает в двух направлениях – она позволяет как выводить свойства чисел Гурвица из известных свойств пространств модулей, так и подсчитывать геометрические характеристики пространств модулей на основе знаний о числах Гурвица. Для других типов чисел Гурвица (например, для двойных чисел Гурвица, перечисляющих разложения произведения пары перестановок заданного циклического типа в произведение транспозиций) связь между их комбинаторными и геометрическими свойствами оказывается более сложной. Эта связь позволяет изучить лишь некоторые относительно простые геометрические характеристики соответствующих двойным числам Гурвица "циклов двойных ветвлений".