Многогранники и группа Гротендика торических и флаговых многообразий

В 1992 году А.В. Пухликов и А.Г. Хованский предложили описание кольца когомологий торического многообразия как фактора кольца дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами по аннулятору многочлена объёма многогранника моментов этого многообразия. Позже К. Кавех заметил, что кольцо когомологий многообразия полных флагов может быть получено в результате применения аналогичной конструкции к многограннику Гельфанда–Цетлина.
Я расскажу о нашей совместной работе с Леонидом Мониным, посвящённой обобщению этих результатов на случай $K$-теории. А именно, мы описываем алгебры с горенштейновой двойственностью как фактор кольца операторов сдвига с постоянными коэффициентами по некоторому идеалу. Далее эта конструкция применяется для описания группы Гротендика гладкого торического многообразия; для этого мы рассматриваем операторы сдвига по модулю аннулятора многочлена Эрхарта соответствующего многогранника (который заменяет многочлен объёма). Наконец, эту конструкцию удаётся обобщить на случай многообразий полных флагов (типа $\mathsf А$); группа Гротендика такого многообразия изоморфна кольцу, построенному по многограннику Гельфанда–Цетлина. Это описание позволяет проводить вычисления в группе Гротендика многообразия флагов в терминах граней многогранников Гельфанда–Цетлина, что даёт обобщение результатов нашей работы с В. Кириченко и В. Тимориным.