Дополнительные интегралы классической и квантовой полной симметрической системы Тоды: метод сдвига аргумента и QR-разложение

Полная симметрическая система Тоды — это важное обобщение обычной открытой цепочки Тоды, когда в качестве матрицы Лакса используют произвольную симметрическую матрицу (или, более общо, элемент в симметрической части разложения Картана некоторой полупростой вещественной алгебры Ли). Оказывается, что эта система гамильтонова, интегрируемая (в том смысле, что она имеет большое количество коммутирующих первых интегралов), и супер-интегрируемая (то есть, имеется большое количество некоммутирующих между собой первых интегралов). В своем рассказе я приведу метод построения коммутирующих первых интегралов этой системы, основанный на использовании дифференциальных операторов на пуассоновой алгебре $S(\mathfrak{gl}_n)$, прямо связанный с методом сдвига аргумента. Этот метод позволяет построить коммутативное семейство элементов в универсальной обертывающей алгебре $U(\mathfrak{gl}_n)$, если заменить дифференцирования на построенные ранее Гуревичем и Сапоновым квази-дифференцирования: операторы на $U(\mathfrak{gl}_n)$, удовлетворяющие обобщенному тождеству Лейбница. Эти операторы можно рассматривать как поднятия на $U(\mathfrak{gl}_n)$ частных производных на $S(\mathfrak{gl}_n)$. Оказывается, что эти операторы позволяют построить в $U(\mathfrak{gl}_n)$ коммутативные подалгебры, соответствующие алгебре "сдвига аргумента" в $S(\mathfrak{gl}_n)$. В классическом случае свойства используемых операторов помогают доказать, что решения уравнений, связанных с дополнительными интегралами, можно получать при помощи метода QR-разложения. Полная симметрическая система Тоды — это важное обобщение обычной открытой цепочки Тоды, когда в качестве матрицы Лакса используют произвольную симметрическую матрицу (или, более общо, элемент в симметрической части разложения Картана некоторой полупростой вещественной алгебры Ли). Оказывается, что эта система гамильтонова, интегрируемая (в том смысле, что она имеет большое количество коммутирующих первых интегралов), и супер-интегрируемая (то есть, имеется большое количество некоммутирующих между собой первых интегралов). В своем рассказе я приведу метод построения коммутирующих первых интегралов этой системы, основанный на использовании дифференциальных операторов на пуассоновой алгебре $S(\mathfrak{gl}_n)$, прямо связанный с методом сдвига аргумента. Этот метод позволяет построить коммутативное семейство элементов в универсальной обертывающей алгебре $U(\mathfrak{gl}_n)$, если заменить дифференцирования на построенные ранее Гуревичем и Сапоновым квази-дифференцирования: операторы на $U(\mathfrak{gl}_n)$, удовлетворяющие обобщенному тождеству Лейбница. Эти операторы можно рассматривать как поднятия на $U(\mathfrak{gl}_n)$ частных производных на $S(\mathfrak{gl}_n)$. Оказывается, что эти операторы позволяют построить в $U(\mathfrak{gl}_n)$ коммутативные подалгебры, соответствующие алгебре "сдвига аргумента" в $S(\mathfrak{gl}_n)$. В классическом случае свойства используемых операторов помогают доказать, что решения уравнений, связанных с дополнительными интегралами, можно получать при помощи метода QR-разложения.