Новые связи между косами и 3-многообразиями

Мы рассматриваем отображения из групп кос в группы $\Gamma_{n}^{4}$ и представления групп $\Gamma_{n}^{4}$. Это группы возникли естественным образом при исследовании диаграмм Вороного на двумерных поверхностях. При рассмотрении n точек диаграмма Вороного претерпевает флип, когда четыре ближайшие точки находятся на одной окружности (а все остальные - вне этой окружности). Таким образом, группы $\Gamma_{n}^{4}$ имеют $3{n\choose 4}$ образующих $d_{ijkl}$, индексируемых четверками точек, у которых дополнительно указано, какие пары точек следует считать формально противоположными. Три группы соотношений в $\Gamma_{n}^{k}$ таковы: квадрат каждой образующей равен единице; любые две образующие, имеющие не более двух общих индексов коммутируют и (соотношение пятиугольника) $d_{ijkl}d_{ijlm}d_{jklm}d_{ijkm}d_{iklm}=1$. Последнее соотношение в тензорной и иных формах многократно появлялось в разных классических работах, но группы $\Gamma_{n}^{4}$ там определены не были. В связи с этим теория перегруппировки (recoupling theory), использованная ранее для построения инвариантов 3-многообразий (Л-Х.Кауфман, С.Линс), дает инварианты классических кос. Вычисленные примеры инвариантов кос принадлежат И.М.Никонову. С другой стороны, преобразование Птолемея, дающее решение уравнения пятиугольника и представления групп кос, приводит к новой конструкции для построения инвариантов (Виро-Тураева) трехмерных многообразий. Таким образом, группы $\Gamma_{n}^{4}$ лежат на стыке нескольких теорий — косы, трехмерные многообразия, кластерные алгебры, колчаны и др. Будет предложен ряд открытых задач.