Система уравнений Шлезингера на треугольные матрицы: представление решений периодами мероморфных дифференциалов

Уравнение Шлезингера описывает зависимость матриц-вычетов (фуксовой) системы линейных дифференциальных уравнений от положения её особых точек при условии, что монодромия системы сохраняется. В случае когда матрицы-вычеты начальной системы треугольны, а наборы их собственных значений образуют арифметические прогрессии с рациональными разностями, уравнение Шлезингера будет обладать семейством решений, которые выражаются через периоды мероморфных дифференциалов на римановых поверхностях различных алгебраических кривых. Данное наблюдение, в частности, позволяет находить полиномиальные, рациональные или алгебраические (представимые в радикалах) решения уравнения Шлезингера.