Критерий существования семейства Бонне для поверхности вращения

В статье 1945 года американский математик T. Y. Thomas с помощью операции ковариантного дифференцирования вывел формулы для коэффициентов второй квадратичной формы поверхности в произвольной системе координат:
$$ b_{\alpha\beta}=RW^{-1}g_{\alpha\beta}+2UW^{-1}Q_{\alpha\beta}\pm\Bigl(\sqrt{(H^2-K)W-U^2}/W\Bigr)V_{\alpha\beta}, $$
выразив их через гауссову и среднюю кривизны и их ковариантные производные. В статье 2011 года, посвященной проблеме пар Бонне, И. Х. Сабитовым, методами тфкп, были получены аналогичные формулы в изотермической системе координат. В этой же статье приведены необходимые условия существования трех поверхностей Бонне, а значит, и семейства Бонне: $A=g\dfrac{df}{d\zeta}-f\dfrac{dg}{d\zeta}\equiv0$, а $f$ представима в виде $f=g\overline{\Phi}(\zeta)$.
Цель доклада:
1. Проверить формулы И. Х. Сабитова и T. Y. Thomas'а.
2. Установить связь между величинами $A$ и $W$.
3. Вывести необходимые и достаточные условия существования семейства Бонне для поверхности вращения.